数学的帰納法の証明

質問

[問題]
　条件A₁＝1、　An₊₁＝4/4－An （n＝1,2,3,・・・）によって定められる数列｛An}がある。　この数列の一般項を求めよ。

　この問題の解法がわかりいません。解法例を回答してくださる方を募集しております。　　　AはスモールAということにしてください。

＆#8330は小さい＋
₁は小さい1です。

回答No.3

alice_38

それとも、
　　a[1] = 1
　　a[n+1] = 4/(4 - a[n])
でしょうか？

この漸化式右辺のように、
分子分母が一次式であるような
分数関数を「一次分数変換」といって、
これには、二次元空間での一次変換と
深い関係があります。
　　x[1] = 1
　　y[1] = 1
　　x[n+1] = 4 y[n]
　　y[n+1] = 4 y[n] - x[n]
と置くと、全ての n について
　　a[n] = x[n] / y[n]
となるでしょう？

x[n], y[n] の連立漸化式を
ベクトル (x[n],y[n]) の漸化式と捉えると、
この数列は、一次変換を表す行列
　　０　４
　－１　４
の n 乗を求める問題に置き換えられます。

行列のベキ乗は、線型代数の基本計算ですから、
学習しておくとよいでしょう。
参考 ↓
http://www.cfv21.com/math/powermat.htm

回答No.2

alice_38

問題が
　　a[1] = 1
　　a[n+1] = (4/4) - a[n]
であれば、
　　a[奇数] = 1
　　a[偶数] = 0
です。

答えが判ってしまえば、
証明は、数学的帰納法で簡単。
やってみて下さい。

回答No.1

nag0720

「募集」はないでしょ。

A1=1
A(n+1)=4/(4-An)
だと思うので、

A2=4/(4-1)=4/3
A3=4/(4-4/3)=4/(8/3)=12/8=6/4
A4=4/(4-6/4)=4/(10/4)=16/10=8/5
A5=4/(4-8/5)=4/(12/5)=20/12=10/6
ここまでくれば、
An=2n/(n+1)
が予想できます。
あとは、これを数学的帰納法で証明します。
A1=2/2=1
A(n+1)=4/(4-2n/(n+1))=4/((2n+4)/(n+1))=2(n+1)/(n+2)