数学の問題教えて下さい。

質問

次の条件によって、定められる数列{an}の一般項をもとめよ。
（３）
a1=1 an＋１＝1/3an＋２

病気で休んでまして、わからないので解説解答お願いします。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

特性方程式 t = t/3 + 2を解く。
2t/3 = 2, t = 3
よって、漸化式a[n+1] = a[n]/3 + 2はa[n+1] - 3 = (a[n] - 3)/3と変形できる。
数列{a[n] - 3}は初項a[1] - 3 = -2, 公比1/3の等比数列。
a[n] - 3 = -2/(3^(n-1))
∴a[n] = -2/(3^(n-1)) + 3

お礼

有難うございました。

回答No.4

ddtddtddt

言ってる事は、#1，2さんと同じです。

　移項して、

　　3a(n+1)－a(n)＝6　　　(1)

になりますが、a(n+1)やa(n)の足し算で定義される漸化式は別名、線形差分方程式と言われます。いまa(n+1)とa(n)しかないので、一階線形差分方程式です。

　まず線形に限らず、一階差分方程式の一般解は、

　　a(n)＝f(A，n)　　　(2)

だとわかっています。ここでAは、初項によって決まる任意定数で、f(A，n)の形は与えられた漸化式ごとに決まります。

　次に線形差分方程式は、次のように非常に良い性質があります。解a(n)を、

　　a(n)＝b(n)＋c(n)　　　(3)

という風に2つの数列の和として表すと、(3)を(1)に代入すれば明らかなように、

　　(3b(n+1)－b(n))＋(3c(n+1)－c(n))＝6　　(4)

と、b(n)とc(n)についてa(n)と同じ形の和に分離できます。

　ここで都合の良い事を考えます。次の(5)と(6)の和は、明らかに(4)を満たします。

　　3b(n+1)－b(n)＝0　　(5)
　　3c(n+1)－c(n)＝6　　(6)

　(5)，(6)は一見、無意味に見えますけれど、(5)の解は明らかに、b(n)＝A×(1/3)^(n-1)です。b(n)に任意定数Aが出てくるので、(2)と(3)から、(6)を満たすようなc(n)を何でも良いから、一個見つければ良い事になります。

　(6)は(1)と同じ形ですが、「何でも良い」事から一般項はどうか？などと気にする事なく、出来るだけ簡単なケースを試せば良い訳です。

　例えばc(n)＝定数 は数列です。c(n)＝定数が可能かどうかは、c(n)＝定数を(6)に代入して確かめればOKです。定数をtとします。

　　3t－t＝6　　(7)

からt＝3になります。従って(3)より、

　　a(n)＝A×(1/3)^(n-1)＋3

が(1)の一般項だと結論できます。

　ちなみに(7)は普通、特性方程式とは言わないと思うんですよね。特解を出す計算だと思います。

お礼

有難うございました。

回答No.3

asuncion

おっと、書き間違いが...。

誤：(1)から、a[n+1] = a[n]/3 + t - t/3 = a[n] + 2となりますので、
正：(1)から、a[n+1] = a[n]/3 + t - t/3 = a[n]/3 + 2となりますので、

お礼

有難うございました。

回答No.2

asuncion

＞特性方程式 t = t/3 + 2を解く。
いきなりこんな式が出てきてわかりづらかったかもしれません。
a[n+1] = a[n]/ 3 + 2を何とかしてa[n+1] - t = (a[n] - t)/3 ... (1)と変形し、
数列{a[n] - t}が等比数列であることを言いたいのです。
(1)から、a[n+1] = a[n]/3 + t - t/3 = a[n] + 2となりますので、
t - t/3 = 2となります。これを解くとt = 3になりますので、(1)に代入し、
a[n+1] - 3 = (a[n] - 3)/3となります。

お礼

有難うございました・