指数関数の問題について

質問

画像の問題の解き方が良く分かりません。分かりやすく教えてくれる方、おねがいします

回答No.4

bran111 · ベストアンサー

2^x=X, 2^y=Yとおくと

X+Y=5
XY=4

X,Yを解とする２次方程式は解と係数の関係により

t^2-5t+4=0

(t-1)(t-4)=0

t＝１またはt=4

すなわち

X=1、Y=4　または　X=1,Y=4

1）X=1、Y=4のとき

X=2^x＝1　⇒　x=0

Y=2^y=4　⇒　y=2

2)は1)のx,yを入れ替えたものである。

x=2, y=0

答え
x=0,y=2 またはx=2,y=0

回答No.3

178-tall

>2^x + 2^y = 5　　… (1)
>2^(x + y) = 4

下式は、
　(2^x)*(2^y) = 4　　… (2)
ということ。
2^x =a , 2^y = b として見やすくしておく。

　(1) → a + b = 5
　(2) → ab = 4
下式から、
　b = 4/a　　… (3)
これを上式へ入れて、
　a + 4/a = 5
　　↓
　a^2 - 5a + 4 = (a - 4)* (a - 1) = 0
　∴　a=4　or　a=1
　　　　　↓ (3) により
　　　b=1　or　b=4

a=4 なら x=2 , a=1 なら x=0
…
ということで、[回答] にたどり着ける。

回答No.2

noname#212313

直観で2^(x+y)=4から、x+y=2は分かりますが、論理の飛躍がないよう、あえて対数を取る方法でやってみます。2の何乗という形なので、対数の底を2とするとよさそうです。

2^x+2^y=5　―(1)
2^(x+y)=4　―(2)

　式(2)の両辺の対数を取る。底は2とする。
（↑式(1)は右辺が5なのでちょっとやりにくそう。一方、(2)は右辺が4＝2^2なので、どうにかなりそうという、結構、行き当たりばったりの勘。）

　log(2^(x+y))=log 4
∴(x+y)log 2=log 2^2　←4=2^2
∴x+y=2log 2　←底が2なので、log 2=1だから、
∴x+y=2　―(3)　←なんとかxとyについての整式が出た

　(3)より、y=-x+2。これを(1)に代入する。

　2^x+2^(-x+2)=5
∴2^x+2^2・2^(-x)=5　←-累乗のx+2を-xと2に分けておく
∴2^x・2^x+2^2=5(2^x)　←両辺に2^xをかけた
∴(2^x)^2+4=5(2^x)
∴(2^x)^2-5(2^x)+4=0　←これを、(2^x)に関する2次式とみると、
∴((2^x)^2-1)((2^x)^2-4)=0　←因数分解できて、
∴2^x=1, 2^x=4　←2^xについて、値が二つ出た
∴log (2^x)=log 1, log(2^x)=log 4　←また2を底とする対数を取る
∴log (2^x)=log 1, log(2^x)=log 2^2
∴x・log 2=log 1, x・log 2=2log 2
∴x・1=0, x・1 =2・1　←log 1=0, log 2=1を使った
∴x=0, x =2

　x=0のとき、(3)より、y=2
　x=2のとき、(3)より、y=0

回答No.1

Oubli

下の式から　x+y=2、したがってy=2-x
上の式のyに代入すると　2^x+2^(2-x)=5　すなわち　2^x＋2^2/2^x=5
z=2^x とおくと　z+4/z=5　両辺にzをかけて変形すると　z^2-5z+4=0　すなわち　(z-1)(z-4)=0
したがって　Z=1 または　z=4となります。
z=2^x　から　x=0　または　x=2、それぞれに対応するyは2-x　（2または0）になります。