指数関数の問題について

質問

画像ですみません、
画像の問題の最大値が14，最小値が-2になる解き方が分かりません。分かりやすく教えてくれると有難いです。おねがいします。

回答No.3

bran111 · ベストアンサー

y=4^x-2^(x+3)+14
0≦x≦3

一見指数関数、実態２次関数ということをよく認識すること。ビビらないこと

実態をつかむには変数変換が威力を発揮する。

t=2^x (1)
とおく。
y=t^2-8t+14=f(t) (2)
がすぐ書き下せるように訓練すること。

0≦x≦3より1≦ｔ≦8　　　 (3)
これが重要。変数変換⇔変域変換

y=(t-4)^2-2

1≦ｔ≦8　でY=(t-4)^2-2をグラフにできれば完璧。必ずできるようにすること。

yはｔ＝4が中心軸で値が最小となる下に凸の２次関数,ｔ＝4は変域に入っている。最小値＝f(4)=-2
変域の両端のうち、中心軸から遠いほう(t=8)が最大値。最大値＝f(8)=14

最後の注意 : tは勝手に持ち込んだ変数、話は元の変数で語らなければならない。つまり
T=4 ⇒　x=2 ( (1)より)
T=8 ⇒　x=3 ( (1)より)

以上より
X=2の時、yは最小値-2、x=3の時ｙは最大値14をとる。

回答No.2

安部 美里（@misagorira）

打つとわかりにくいので画像にしました。
グラフを書くとわかりやすいですよ。

回答No.1

f272

0≦x≦3のとき1≦2^x≦8である。
y=4^x-2^(x+3)+14
=2^(2x)-8*2^x+14
=(2^x-4)^2-2
であるから
最小値は2^x=4のとき(4-4)^2-2=-2 (上式の2乗のところが0になるとき)
最大値は2^x=8のとき(8-4)^2-2=14 (1≦2^x≦8で最小値になるときから最も遠いところ)
言い換えると
最小値はx=2のとき(4-4)^2-2=-2
最大値はx=3のとき(8-4)^2-2=14