指数関数の問題です。

質問

指数関数の問題です。

等式2^mn-2^(m-1)=1000が成り立つとき、正の整数m、nの値を求めよ。

※2^mn：nは指数ではありません

2^mn-2^(m-1)=1000
2*{2^mn-2(m-1)}=2*1000
2^(m+1)n-2^m=2000
2^m(2n-1)=2^4*125
よって
m=4
また
2n-1=125
n=63

∴m=4,n=63

とりあえず私が考えた解答は上記の通りなのですが…
（答えは合っています）

式を変形する段階で
2^m(n-1/2)=2^3*125
という形にもできると思います。
しかしこの形だとm=4,n=63になりません。

どうしてこの形ではだめなのでしょうか？
また上記の解答で足りない記述、間違いなどはあるでしょうか？

お答えくださるとありがたいです。
よろしくお願いします。

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

>2^m(n-1/2)=2^3*125
>どうしてこの形ではだめなのでしょうか？
n-1/2は整数ではないので、この形だと、両辺を比べられません

>また上記の解答で足りない記述、間違いなどはあるでしょうか？
基本的にはＯＫですが、
2^m(2n-1)=2^4*125
のあとに、
素因数分解の一意性より、2^m=2^4
みたいな記述（解が、m=4,n=63以外にはないことを説明する記述）
があるとより良いかもしれません。

お礼

なるほど！それでだめだったのですね；；
納得です。

わかりました。書き足しておきます！

丁寧な説明ありがとうございました。