指数が含まれる第5次導関数の問題の解き方

質問

以下の問題を自分で解答してみましたが、
ぜんぜん自信がありません。
わかる方、いらっしゃいましたらご指導お願いします。

【問題】
関数f(x)=xe^(5x)の第5次（階）導関数f^(5)(x)を求めよ。

【解答】
１次導関数：5e^(4x)
２次導関数：5e^(3x)
３次導関数：5e^(2x)
４次導関数：5e^(1x)
５次導関数：5e^(0)=5・1
よって、f^(5)(x)=5

以上、よろしくお願いします。

回答No.2

rphnn150 · ベストアンサー

e^(ax)の微分→ae^(ax)
f(x)g(x)の微分→f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)　（f(x)の微分はf'(x)と表記する）

一次導関数：e^(5x)+5xe^(5x);
二次導関数：5(2+5x)e^(5x)
・・・
五次導関数：3125(1+x)e^(5x)

計算あってるかな。

お礼

丁寧な解説、ありがとうございました。
おかげで、間違いがわかり、すっきりしました。
大変お世話になりました。

回答No.4

25no12

＃２さん、
同じ答えになりました。合ってそうですね。

お礼

検算、ありがとうございました。
先の問題の補足もありがとうございました。

回答No.3

25no12

これは残念ながら間違ってます。

f(x)の微分（導関数）をdf(x)とあらわすことにして、
f(x)g(x)の微分は、df(x)*g(x)+f(x)*dg(x)
です

それと、
e^kxの微分は
ke^kxです。

以上を理解すると、
xe^5xの微分は、何回微分しても
(ax+b)e^5xの形になることが分かります。
a,bをkの数列とみて、数列を解く問題になります。

（もちろん、たかだか５回なので、地道に微分してもいいです）

計算間違いとかしそうなので、後はご自分でどうぞ。

回答No.1

25no12

ごめんなさい、一つ下の質問「極限について」ですが、
（１）は「lim=∞だから発散」では、不可かもしれません。
いかなるNに対しても、2^k>Nとなるkが存在することを背理法などで証明すればＯＫです。

例えば、非常にラフですが、nが自然数として、
2^(n+1)-2^n=2^n>1ですから
2^n-2^(n-1)>1
.
.
2^2-2^1>1
この不等式を全部足して、2^(n+1)-2^1>n
2^(n+1)>n+2
2^n>n+1
よって、いかなるNに対してもk=Nとすれば、
2^N>N+1>N
これから
2^nは発散する（上限が存在しない）

スマートでないかもしれませんが。

お礼

わざわざ、追加のアドバイスありがとうございます。
そのように証明すればいいのですね。
ありがとうございました。