フーリエ級数の問題を教えて下さい。

質問

この問題が分かりません。

(1)f(x)=ー1(ーπ<x≦0)、1(0<x≦π)
(2)f(x)=(sinx+|sinx|)/2
周期2π
少し複雑で困っています。分かる方、お願いいたします

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

(1)
f(x)=(1/2)a_0 +Σ[n=1,∞] a_n cos(nx)+b_n sin(nx)
T=2π
f(x)は奇関数であるから
a_0=(2/T)∫[-T/2,T/2] f(x)dx=0
a_n=(2/T)∫[-T/2,T/2] f(x)cos(nx)dx=0 (n≧１）
b_n=(2/T)∫[-T/2,T/2] f(x)sin(nx)dx=
=(2/π)∫[0,π] 1・sin(nx) dx
=(2/π) [(-1/n)cos(nx)][0,π]
=(2/(nπ)){1-cos(nπ)}
=0(n=正の偶数のとき)、=4/(nπ) (n=正の奇数(2m-1)のとき)
f(x)は(-π<x≦π)でしか定義されていないので

ゆえに f(x)のフーリエ級数展開は
ｆ(x)＝(4/π)Σ[m=1,∞] sin((2m-1)x)/(2m-1)　(-π<x≦π)
or
=(4/π){ sin(x)+(1/3)sin(3x)+(1/5)sin(5x)+(1/7)sin(7x)+ …　(-π<x≦π)

となります。

(2)
sin（ｘ）≧0 のとき f(x)=sin(x), sin(x)≦0 のとき f(x)=0
であるから
T=2πとして
a_0=(2/T)∫[-Pi,Pi] f(x)dx
=(1/π)∫[0,π] sin(x) dx=(1/π)[-cos(x)][0,π]=2/π
a_n=(2/T)∫[-T/2,T/2] f(x)cos(nx)dx
=(1/π)∫[0,π] sin(x)cos(nx)dx
n=1のとき
a_n=(1/π)∫[0,π] sin(x)cos(x)dx=(1/π)∫[0,π] (1/2)sin(2x)dx
=(1/(2π))[-cos(2x)/2][0,π]=0
n≧2のとき
a_n=(1/(2π))[{cos(x)cos(nx)+nsin(x)sin(nx)}/(n^2 -1)][0,π]}
=(1/π) (1+cos(nπ))/(1-n^2)
=0(n=正の奇数）, =2/(π(1-n^2)) (n=2以上の偶数)

b_n==(2/T)∫[-T/2,T/2] f(x)sin(nx)dx
=(1/π)∫[0,π] sin(x)sin(nx)dx
n=1のとき
b_1=(1/π)∫[0,π] (sin(x))^2 dx=(1/π)∫[0,π] (1/2)(1-cos(2x))dx
=(1/(2π))[x][0,π]=1/2
n≧2のとき
b_n=(1/(2π))[{cos(x)sin(nx)-n sin(x)cos(nx) }/(n^2 -1)][0,π]=0

ゆえにf(x)のフーリエ級数展開は
f(x)=(1/2)a_0+Σ[n=1,∞] {a_n cos(nx)+b_n sin(nx)}
=(1/π)+(1/2)sin(x)+(2/π)Σ[m=1,∞] cos(2mx)/(1-4m^2)
または
=(1/π)+(1/2)sin(x)-(2/π) { (1/3)cos(2x)+(1/15)cos(4x)+(1/35)cos6x)+‥‥}

となります。

お礼

有難うございます。助かりました