フーリエ変換の問題（複素フーリエ級数）

質問

フーリエ変換の問題（複素フーリエ級数）

次の-L≦X≦Lで定義された関数f(x)を
f(X＋2nL)＝f(x)により
-∞＜x＜∞に拡張した周期関数の複素フーリエ級数展開を求めよ

f(x)=0(-L≦X<0), 1(0≦X<L)

この問題が解けないので、どなたか教えてほしいです。

f(x)=xのようなかんじだったらとけるのですが、この問題のような形式だと、詰まってしまいます・・・

回答No.1

koko_u_u · ベストアンサー

>f(x)=xのようなかんじだったらとけるのですが、
>この問題のような形式だと、詰まってしまいます・・・

同じだと思うんですけど。どこに詰まっているか補足できますか？

回答No.2

proto

要は定積分が求まれば係数が決定できるわけですよ。
で、
　　∫[-L,L]{f(x)*exp(-i*n*π*x/L)}dx
を計算したいわけですが、
幸い定積分では区間を分解することが出来るので
　　∫[-L,L]{f(x)*exp(-i*n*π*x/L)}dx = ∫[-L,0]{f(x)*exp(-i*n*π*x/L)}dx + ∫[0,L]{f(x)*exp(-i*n*π*x/L)}dx
と、区間を分けてみましょう。

右辺の前の項では、[-L,0]でf(x)は常に0なので
　　∫[-L,0]{f(x)*exp(-i*n*π*x/L)}dx = ∫[-L,0]{0*exp(-i*n*π*x/L)}dx
を計算すればよいことになりますね。
同様に右辺の後ろの項では、[0,L]でf(x)は常に1なので
　　∫[0,L]{f(x)*exp(-i*n*π*x/L)}dx = ∫[0,L]{1*exp(-i*n*π*x/L)}dx
を計算すればよいことになりますね。
それぞれ計算できたらあとはもうただの足し算なので簡単でしょう。

今回の話はフーリエ展開・フーリエ変換の場合に限りませんよ。一般の定積分の話として、被積分関数f(x)の不連続点が高々可算無限個以下であれば不連続点を含まないように上手く区間を分けることで積分は実行できるのです。