フーリエ級数の問題です。

質問

フーリエ級数の問題がどうしても分かりません。
下記の問題の解き方を詳しく教えてください。

ー問題ー
正弦展開と余弦展開を求めよ。

f(x)=x(0＜x＜1)
f(x)=2-x(1≦x≦2)

よろしくお願いします！！

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

f(x)が有界変動な周期Lの周期関数であるとき

f(x)=a_0/2+Σ_{n=1}^∞{a_ncos(nkx)+b_nsin(nkx)}(k=2π/L)

a_n=(2/L)∫_{-L/2}^{L/2}f(x)cos(nkx)dx(n=0,1,2,…)

b_n=(2/L)∫_{-L/2}^{L/2}f(x)sin(nkx)dx(n=1,2,…)

f(-x)=-f(x)：奇関数

f(x)=Σ_{n=1}^∞b_nsin(nkx)(k=2π/L)

b_n=(4/L)∫_0^{L/2}f(x)sin(nkx)dx(n=1,2,…)

f(-x)=f(x)：偶関数のとき

f(x)=a_0/2+Σ_{n=1}^∞a_ncos(nkx)(k=2π/L)

a_n=(4/L)∫_0^{L/2}f(x)cos(nkx)dx(n=0,1,2,…)

f(x)=x(0≦x≦1),2-x(1≦x≦2)

周期L=4とする．k=2π/L=π/2だから，

f(x)=a_0/2+Σ_{n=1}^∞{a_ncos(nπx/2)+b_nsin(nπx/2)

a_n=(1/2)∫_{-2}^2f(x)cos(nπx/2)dx(n=0,1,2,…)

b_n=(1/2)∫_{-2}^2f(x)sin(nπx/2)dx(n=1,2,…)

(1)奇関数で拡張の場合

b_n=∫_0^2f(x)sin(nπx/2)dx(n=1,2,…)

=∫_0^1xsin(nπx/2)dx+∫_1^2(2-x)sin(nπx/2)dx

ここで

∫_1^2(2-x)sin(nπx/2)dx=∫_1^0ysin(nπ(2-y)/2)(-dy)

=∫_0^1ysin(nπ-nπy/2)dy=∫_0^1y{sin(nπ)cos(nπy/2)-cos(nπ)sin(nπy/2)}dy

=-(-1)^n∫_0^1xsin(nπx/2)dx

∴b_n={1-(-1)^n}∫_0^1xsin(nπx/2)dx(n=1,2,3,…)

よって偶数項は0で

b_{2n-1}=2∫_0^1xsin{(n-1/2)πx}dx

=2∫_0^1x{-cos((n-1/2)πx)/((n-1/2)π)}'dx

=2[x{-cos((n-1/2)πx)/((n-1/2)π)}]_0^1-2∫_0^1{-cos((n-1/2)πx)/((n-1/2)π)}dx

=2∫_0^1cos((n-1/2)πx)/((n-1/2)π)dx

=2[sin((n-1/2)πx)/((n-1/2)π)^2]_0^1

=2sin((n-1/2)π)/((n-1/2)π)^2

=2cos(nπ)sin(-π/2)/((n-1/2)π)^2

=(8/π^2)(-1)^{n-1}/(2n-1)^2

∴f(x)=(8/π^2)Σ_{n=1}^∞(-1)^{n-1}sin((2n-1)πx/2)/(2n-1)^2

(1)偶関数で拡張の場合

a_n=∫_0^2f(x)cos(nπx/2)dx(n=0,1,2,…)

=∫_0^1xcos(nπx/2)dx+∫_1^2(2-x)cos(nπx/2)dx

ここで

∫_1^2(2-x)cos(nπx/2)dx=∫_1^0ycos(nπ(2-y)/2)(-dy)

=∫_0^1ycos(nπ-y/2)dy=∫_0^1y{cos(nπ)cos(nπy/2)-sin(nπ)sin(nπy/2)}dy

=(-1)^n∫_0^1xcos(nπx/2)dx

∴a_n={1+(-1)^n}∫_0^1xcos(nπx/2)dx(n=0,1,2,3,…)

よって奇数項は0で

a_0=2∫_0^1xdx=2(1/2)=1

a_{2n}=2∫_0^1xcos(nπx)}dx

=2∫_0^1x{sin(nπx)/(nπ)}'dx

=2[x{sin(nπx)/(nπ)}]_0^1-2∫_0^1{sin(nπx)/(nπ)}dx

=-2∫_0^1{sin(nπx)/(nπ)}dx

=2[cos(nπx)/(nπ)^2]_0^1

=2{cos(nπ)-1}/(nπ)^2

=2{(-1)^n-1}/(nπ)^2

a_{2n}(n≧1)においてn偶数のとき0であるから，

a_{2(2n-1)}=a_{4n-2}=-(4/π^2)/(2n-1)^2

∴f(x)=1/2-(4/π^2)Σ_{n=1}^∞cos((2n-1)πx)/(2n-1)^2

以上から

x(0≦x≦1),2-x(1≦x≦2)

=(8/π^2)Σ_{n=1}^∞(-1)^{n-1}sin((2n-1)πx/2)/(2n-1)^2（奇関数拡張）

=1/2-(4/π^2)Σ_{n=1}^∞cos((2n-1)πx)/(2n-1)^2（偶関数拡張）

お礼

本当に助かりました！有難う御座います！