フーリエ級数で分からない問題があります

質問

次のフーリエ級数の問題が分かりません

周期2をもつ次の関数f(x)のフーリエ級数を求めよ
f(x)=0 (-1<x<0), f(x)=cosπx (0<x<1), f(0)=1/2, f(1)=f(-1)=-1/2.

途中計算もお願いします

回答No.2

info22_

No.1です。

ANo.1の補足の質問について

>一応答えを持っているのですが、その答えにはa0=cosπxと書いてあるんです。
その答えは間違っています。
a[0]/2は直流分というか、f(x)の（1周期の）平均値（定数）ですから、xの入っている答えは全くの間違いで、そのテキスト?は間違った解答を載せている点で、余り信用しない方がいいみたいですね。誰でも気づく、全くの初歩的間違いですね。

>条件に、f(0)=1/2, f(1)=f(-1)=-1/2が入っていなければできるんです。
この条件が入ることによって答えがどう変わるか知りたかったんです。
フーリエ級数展開では、何も書いてなくても、不連続点では左方極限値と右方極限値の平均値を不連続点の値となります。平均値で定義しても、しなくて、フーリエ級数展開式では、不連続点での値になります。
逆に不連続点でのf(x)の値を両端の平均値以外に定義しても満たせません。問題で与えられているf(0)、f(1),f(-1)などは、f(t)の不連続点での両側のf(t)の値の平均値となっているので、自動的にフーリエ級数展開式も、その定義値を満たします。

f(t)が不連続関数で、不連続点で関数値がどう定義されていよう（たとえ未定義でも）と、フーリエ級数展開式（連続関数です）では、不連続点での値を求めると、不連続点の両側の関数値の平均値になります。
なので与えられた境界条件の場合は、（境界条件が書いてなくても）フーリエ級数展開式には影響を与えません。

回答No.1

info22_

定義式に基づき計算するだけです。
丸投げしないでやるようにしましょう。

下付き添字を[ ]をつけて表すことにします。

a[0]=∫[0,1] cos(πt)dt= …
n≧1に対して
a[n]=∫[0,1] cos(πt)cos(nπt)dt= …
b[n]=∫[0,1] cos(πt)sin(nπt)dt= …
を計算する。
被積分関数を積和公式を使ってcosの和、sinの和に直せば簡単に積分可能です。

f(t)のフーリエ級数の式に、計算したa[0],a[n],b[n] (n=1,2,3,…)を代入すれば良いでしょう。
f(x)=(1/2)a[0]+Σ[n=1,∞] {a[n]cos(nπt)+b[n]sin(nπt)}

お礼

一応答えを持っているのですが、その答えにはa0=cosπxと書いてあるんです。
これがサインの式ならまだしもコサインの式になってるかが分からなくて質問しました。
条件に、f(0)=1/2, f(1)=f(-1)=-1/2が入っていなければできるんです。
この条件が入ることによって答えがどう変わるか知りたかったんです。
最初の最初で手詰まってしまったので、ほぼ丸投げに近いといいますか、丸投げですね。あまり勉強していない自覚もあります。すみません。