フーリエ級数についてです。

質問

フーリエ級数についてです。

区間［－π，π］で定義された関数f(x)＝xで定義された周期2πの関数についてフーリエ級数の問題を解けという問題があるんですけど、この場合f(x)＝xは周期2πなんでしょうか？

周期関数2πの定義は関数f(x)がf(x＋2π)＝f(x)を満たすときですよね？

この定義にf(x)＝xが当てはまるとは思えないのですが。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

#2,#3です。

フーリエ級数展開は参考URLの例に載っています。

f(x)=2Σ[n=1～∞] {(-1)^(n-1)}sin(nx)/n

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/フーリエ級数

回答No.3

info22_

#2です。

補足です
x=(2n-1)πにおける関数の不連続点での関数値は、
フーリエ級数展開では一般的には
f((2n-1)π)={f((2n-1-0)π)+f((2n-1)π+0)}/2={π+(-π)}/2=0
と（右方、左方極限値の平均を取り）定義されます。

回答No.2

info22_

問題文から
f(x)は周期2πの（周期）関数で

>関数f(x)が（任意のxに対して）f(x＋2π)＝f(x)を満たす
ことを文章表現していると思います。

周期2πの関数ですから、f(x)の1周期である
>区間［－π，π］ではf(x)＝xで定義される
と定義しておけば、
区間外のxに対しては周期関数の定義により関数値が定まるということで
任意のxに対してf(x)が定義されることになるかと思います。

>この定義にf(x)＝xが当てはまるとは思えないのですが。
これは区間［－π，π］でのf(x)の定義ですから当てはまっていると思われます。

f(x)の波形の図を添付します。

回答No.1

Kules

断言はできませんが、
「区間[-π,π]においてf(x)=xで定義されたものを２πで周期化した関数」
を考えろと言ってるんじゃないかと思われます。
すなわち、グラフとしては鋸波のようなものを考えてやればいいんではないでしょうか？
ただ、区間の両端が閉区間なので、x=πの時f(x)はπなのか-πなのか迷うところですね。

以上、参考になれば幸いです。