フーリエ級数の問題です。

質問

フーリエ級数の問題です。
１．ｆは周期２πの関数で次を満たす。f(x)=０(-π<x≦0)or　f(x)=x(0<x≦π)
（１）ｆをフーリエ級数展開し、各点収束定理を用いて収束を調べよ。
（２）ｘ＝π/2を代入してπの値を求める級数を作れ。
よろしくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

要点だけ
フーリエ係数a0,an,bnの公式を使えば
a0/2=π/4,
an={1-(-1)^n}/(πn^2) (n=1,2,3, ..)
bn={(-1)^(n+1)}/n (n=1,2,3, ..)

f(x)=π/4+Σ[n=1,∞][{1-(-1)^n}/(πn^2)]cos(nx)+[{(-1)^(n+1)}/n]sin(nx)

f(π/2)=π/2=π/4+Σ[n=1,∞][-{1-(-1)^n}/(πn^2)]cos(nπ/2)+[{(-1)^(n+1)}/n]sin(nπ/2)

π/4=Σ[n=1,∞][{(-1)^(n+1)}/n]sin(nπ/2)

π=4Σ[m=1,∞]{1/(2m-1)}{(-1)^(m+1)}

π=4(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13-1/15+1/17-1/19+1/21+ … )