フーリエ級数展開

質問

f(x)＝(sinx)^2 (-π≦x<π)のフーリエ係数anの求め方を教えてください。
お願い致します。

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

No.1です。

何がわからないのでしょうか？
f(x)=(sin(x))^2
sin(x)の周期は2πですからf(x)の基本周期は一見、T=2πのように見えます。なのでフーリエ係数を求める際のanの公式の積分範囲が(-π≦x<π)と考え勝ちですが、
f(x)=(sin(x))^2=(1/2){1-cos(2x)}
=(1/2)-(1/2)cos(2x)　...(A)
は既にフーリエ級数展開した式になっています。
なのでフーリエ係数anを公式を使って求める必要はありません。
フーリエ級数展開の定義式の係数と比較するだけで係数が求まります。
f(x)はxの偶関数ですから bn=0 (n≧1) です。
従ってフーリエ級数の展開式の定義式は
f(x)=a0/2+Σ[n=1,∞] an cos(2nx) ... (B)
と書けます。
(A)と(B)の係数を比較して
a0=1, a1=-1/2, an=0 (n≧2)
となります。

どうしても、係数の積分公式を使って求めたければ
f(x)はxの偶関数で、周期がT=π(-π/2≦x<π/2)ですから
bn=0(n=1,2,3, ... )は当然ですが
a0=(2/T)∫[-π/2,π/2] f(x) dx=2(2/π)∫[0,π/2] (1/2) dx=1
an=(2/T)∫[-π/2,π/2] f(x)cos(2nx) dx (n≧1)
=2(2/π)∫[0,π/2] (1/2){1-cos(2x)}cos(2nx) dx
=(2/π)∫[0,π/2] {1-cos(2x)}cos(2nx) dx
n=1のとき
an=(2/π)∫[0,π/2] {1-cos(2x)}cos(2x) dx
=(2/π)∫[0,π/2] {cos(2x)-(1/2)(1+cos(4x)} dx
=(2/π)∫[0,π/2] {cos(2x)-(1/2)-(1/2)cos(4x)} dx
=(2/π)[(1/2)sin(2x)-(1/2)x-(1/8)sin(4x)][0,π/2]
=(2/π){0-(1/2)(π/2)-0}
=-1/2
n≧2のとき
an=(2/π)∫[0,π/2] {1-cos(2x)}cos(2nx) dx
=(2/π)∫[0,π/2] {cos(2nx)-cos(2x)cos(2nx)} dx
三角関数の１周期の整数倍の積分区間の積分はゼロであり
積和公式を使って積分すれば
an=0(n≧2)
となります。

お礼

ありがとうございました

回答No.1

info222_

f(x)=(sin x)^2=(1/2)(1-cos(2x))=(1/2)-(1/2)cos(2x) ... (※)
これでフーリエ級数展開した式になっている。

つまり
f(x)は偶関数なので, 基本周期を (-π≦x<π)　すなわち　T=2πと考えると
(1) f(x)=a[0]/2+Σ[n=1, ∞] a[n] cos(nx)
a[0]=1, a[n]=0(n=奇数、1,3,5 ... のとき ),
a[2]=-1/2 (n=2のとき)、a[n]=0 (n=偶数(≧4)、4,6,8, ... のとき)
と書けるが、
f(x)=(1/2)-(1/2)cos(2x)
なので本来の基本周期はT=π (-π/2≦x<π/2) と考えた方が自然である。
(2) f(x)=(a0/2)+Σ[m=1, ∞] am cos(2mx),
a[0]=1,a[1]=-1/2（m=1のとき), a[m]=0 (m=整数(≧2) 、2,3,4, ... のとき)
と書ける。

(1)の展開と(2)の展開は、同じ(※)の式になるが、基本周期をT=2πと考えるか、T=πと考えるかの違いです。

お礼

ありがとうございました。