極限

質問

階乗の漸近展開（スターリングの公式)を使用しないで解法が知りたいです。どうかよろしくお願いします。

回答No.2

tmpname · ベストアンサー

極限にしろ積分にしろこういう「頑張って計算しないと出ない」問題は非常に多くでるので、式を見て「わあ、面倒臭そう」と思ってもとにかく頑張ってやってみる必要があります。

それはさておき (a^b)^c = a^(bc)であることから、

(n^n)^{1/n} = n
((2n)^(2n))^(1/n) = (2n)^2
{e^(n(π-1))}^(1/n) = e^(π-1)
{e^(2n(π-1))}^(1/n) = e^(2(π-1))
であって、更に
(2n!) / (n!) = (n+1)(n+2)…(2n)
です。
そこで正直に[a_{2n}/a_{n}]^{1/n} を書いてみると、

{ [ { [(2n)^(2n)] * e^(2n(π-1)) } / (2n!) ] * [ (n!) / { [(n)^(n)] * e^(n(π-1)) } ] }^(1/n)

となりますが、上で書いた事をつかってまとめてください。

回答No.1

tmpname

大分すっ飛ばして書きます。途中の計算は自分でやってみて下さい。
＊先ず、頑張って正直に[a_{2n}/a_{n}]^{1/n}を計算すると（頑張って計算してください）
[a_{2n}/a_{n}]^{1/n}
= { [(2n)^2][e^{2(π-1)}] / [n＊(e^(π-1))] } ＊ [ 1/ {(n+1)(n+2) …2n}]^{1/n}
= 4 * {e^(π-1)} * [(1+(1/n))(1+(2/n)) … (1+(n/n))]^{-1/n}
となる
（途中端折ってますので一度自分で計算してください）
よって、
log {[a_{2n}/a_{n}]^{1/n} } = 2log2 + π - 1 - (1/n)＊Σ[1≦k≦n]log(1+(k/n))となる。
ここで、
lim_[n→∞] (1/n)＊Σ[1≦k≦n]log(1+(k/n)) = [区分求積法に持ち込む、つまり、何かの定積分の形にする] = 2log2 - 1
となるから
結局lim_[n→∞] log {[a_{2n}/a_{n}]^{1/n} } = 2log2 + π-1 - 2log2 + 1 = π
となる。

一度自分で計算してみて、分からないところがあれば質問してください。

補足

[a_{2n}/a_{n}]^{1/n}
= { [(2n)^2][e^{2(π-1)}] / [n＊(e^(π-1))] } ＊ [ 1/ {(n+1)(n+2) …2n}]^{1/n}

この計算がどうしてもできないです。よろしくお願いします。
わかりやすい説明ありがとうございます。