e^(1/z)の漸近展開の求め方
独学中のものです。
f(z)～(a_0)+(a_1)/z+(a_2)/z^2+…+(a_n)/z^n …(1)
関数f(z)の漸近展開が(1)のとき、係数(a_0),(a_1),(a_2),…は次のようにして求められる。
『lim[|ｚ|→∞]f(z)=a_0
lim[|ｚ|→∞]z{f(z)-a_0}=a_1
lim[|ｚ|→∞]z^2{f(z)-(a_0)-(a_1)/z}=a_2
………………………………………………
(ただし z∈D ) 』…(2)
このようにf(z)が漸近展開を持てば、それは一意的に定められるが、逆は成り立たない。すなわち相異なる二つの関数が同一の漸近展開を持つことがある。
たとえば|argz|＜Π/2ならばRe(z)＞0であって、そこでlim[|ｚ|→∞]e^z=∞ である。これに注意して(2)を用いると、|ｚ|＞0, |argz|＜Π/2 において、
e^(1/z)～1+1/(z・1!)+1/(z^2・2!)+… …(3)
e^(1/z)+e^(-z)～1+1/(z・1!)+1/(z^2・2!)+… …(4)
すなわち、この二つの関数は同一の漸近展開を持っている。以上は教科書からの抜粋です。
(3)式の右辺第二項の係数(1/1!)や第三項の係数(1/2!)が(2)式の第２、第３式からどのような過程で求められるのか、わかりやすく教えて下さい。
分かり辛い書き方ですみませんが、宜しくお願いします。
お礼
わざわざUSLを載せてくださってありがとうございました。