双曲線の方程式

質問

http://imepita.jp/20090427/010170
http://imepita.jp/20090427/009460

(x~2/36)-(y~2/4)=-1のグラフを書いて漸近線求めて焦点の座標求めよ

これの焦点を公式あるのに、なぜ直角三角形書いて求めるのか分かりませんでした。ですが、テストでは、公式が成り立つ事を証明させられるらしいです。だから直角三角形書かせて求めさせたらしいです。
どう焦点の公式が導かれる事を証明すればいいんですか？

回答No.2

jamf0421 · ベストアンサー

No1です。スマートなアイデアが浮かばなかったので書かなかったのですが、ダサいアイデアを補足します。
私ならば焦点がy軸上で原点を挟んで等距離になる、御質問に出ていたような双曲線の標準型の式においては、xの分母の平方根とyの分母の平方根を直角を挟む２辺とする直角三角形を書きます。そうするとその三角形の斜辺が焦点間の距離の半分です。だから原点からy軸上の上下にこの長さをとればそれぞれが焦点の座標になっていることになります。
（もしかして質問者さんの先生の主旨と異なることをやっているのかも知れませんが...)

回答No.1

jamf0421

そもそも計算式の画像の方に出ている。(2C)^2=4^2+16^2が書き違いですね。図の画像方では正しく4と12になっています。（授業の時文句が出なかったのでしょうか？）
(2C)^2=4^2+12^2=16+144からC=±2√10（焦点の座標）を出しています。

余談はさておき、図の画像では漸近線のところで直角三角形を一つかいています。この直角三角形の直交する辺の長さは3：1になっています。この三角形と、焦点の間を斜辺とする直角三角形が相似になっています。そして直角を挟む辺の長さが、もとの双曲線のyの分母の平方根の2倍（今の例で4）、およびxの分母の平方根の2倍（今の例で12）にしてあります。
実際、今の例で双曲線上の点の双方の焦点からの距離の差をAとし、焦点の座標をy=±Cとすれば、焦点間の距離は2Cであり、双曲線の式は（式が見にくくて申し訳ないですが）
[x^2/{C^2-(A/2)^2}]-[y^2/(A/2)^2]=-1...(1)
となるはずです。これの左辺は2乗の差なので因数分解すれば
[x/{(C^2-(A/2)^2)^(1/2)}-y/(A/2)][x/{(C^2-(A/2)^2)^(1/2)}+y/(A/2)]=-1...(1)'
となります。そして漸近線の式は(1)'式より
y=±[(A/2)/{(C^2-(A/2)^2)^(1/2)}]x...(2)
となります。漸近線の勾配は分母が、もとの双曲線の式のxの分母の平方根であり、分子がもとの双曲線の式のyの分母の平方根であります。そして分子の2乗と分母2乗を足すとC^2になることは明らかです。だから分母の平方根の2倍と分子の平方根の2倍を直角を挟む2辺とする直角三角形を作れば斜辺が2Cになります。この関係を図は表しています。あとどういう設問でどう答えを作るかは質問者さんがお考えになられれば、と思います。