確率の計算について

質問

N円のお金をm人で分ける場合にある一人がx円もらえる確率がexp(-Cx)　(ただしCは定数)になるらしいのですがこれが導き出せません。スターリングの公式とテーラー展開を使うらしいのですが…。どうしたらいいでしょう？
(スターリングの公式とテーラー展開以外は高校程度の組み合わせ確率の知識で解けるそうです。)

回答No.5

noname#2380

上記の問題を検討するのに当たり、いろんな仮定を課しています。
以下の条件を想定します。
(1)　n円は1円玉がn枚からなる。
(2)　1円玉をm人に分けるとき、ある一人がもらえる確率はp=1/m,もらえない確率は
　　q=1-pとします。

frank氏と同様に2項分布をもとに、ある一人がx円もらえる確率P(x)を求めてみます。

P(x)=nCx*p^(x)*q^(n-x)

=n!/(n-x)!/x!*p^(x)*q^(n-x)

ここで、n>>1,(n-x)>>1としてスターリングの公式を適用させていただきます。

　　=exp(n*(ln(n)-1))/exp[(n-x)*(ln(n-x)-1)]/x!*p^(x)*q^(n-x)

=exp(n*(ln(n)-1)-(n-x)*(ln(n-x)-1))/x!*p^(x)*q^(n-x)

=exp(n*ln(n)-(n-x)*ln(n-x)-x)/x!*p^(x)*q^(n-x)

=exp(n*ln(n/(n-x))+x*ln(n-x)-x)/x!*p^(x)*q^(n-x)

=exp(-n*ln(1-x/n)+x*ln(n)+x*ln(1-x/n)-x)/x!*p^(x)*q^(n-x)

ここで、x/n<<1として、対数をテーラ展開してx/nについて1次の項まで
　　で近似すると、

　　=exp(-n*(-x/n)+x*ln(x)+x*(-x/n)-x)/x!*p^(x)*q^(n-x)

=exp(x*(ln(x)-x/n))/x!*p^(x)*q^(n-x)

=exp(x*(ln(x)-x/n)+x*ln(p)+(n-x)*ln(q))/x!

=exp(x*(ln(x)-x/n)+x*ln(p)+n*(1-x/n)*ln(q))/x!

上記の式で、ln(x)>>x/n,1>>x/nを仮定すると

　　=exp(x*ln(x)+x*ln(p)+n*ln(q))/x!

さらに、x>>1としてスターリングの公式をx!に適用すると

　　=exp(x*ln(x)+x*ln(p)+n*ln(q)-x*(ln(x)-1))

=exp(x*ln(p)+n*ln(q)+x)

=exp(x*(ln(p)+1)+n*ln(q))

よってC=1+ln(p)
注：上記の確率分布が意味を持つのは
　　　C<0
すなわち
　　　p<1/e
　　これは、銭を分配する人数が3人以上であることを意味します。

（誤記、誤計算がありましたらゴメンなさい）

以上

回答No.4

nozomi500

期待値の計算なのでしょうか？
たとえば、「ｘ円」もらえる、といっても、たとえばこれが「小数」だったら、もらえるはずがないし、確率は0ですが・・。

回答No.3

stomachman

これはどう見ても問題が不備です。「何と何は同じぐらい実現しそうだ」という目安が与えられていなくては確率の話になりません。この場合、お金を分けるためのルールが与えられなくてはならない。たとえば「早いもん勝ちの総取り」ってルールでこの答が出ると思います？

逆に、この答が成り立つようなルールは何か？という問題だと考えれば面白いでしょう。

回答No.2

frank

以前に回答した frank です
どうもあの回答は間違っていたように思います
あの回答は却下ということでお願いします

回答No.1

frank

この問題は正しいのでしょうか？
テーラー展開を使うところなんてなさそうです
そもそも私がやるかぎりはexp(-CX)なんてどうしても出てきません
　この問題でm人に分けるとありますが、分けるときにある人(A)にお金が与えられるか与えられないかの2項定理と考えれば、
　N円を分ける全ての場合は2^N(Aかそれ以外の人の2通り)
　Aにx円与えられる場合の数はNCx(Cはコンビネーション)
よって、Aにx円与えられる確率は P = NCx/2^N となります
詳しく書くと P = N!/(x!(N-x)!2^N) となり
スターリングの公式 lnX! = XlnX-X = X^X exp^(-X) より
P = (N/2)^N x^(-x) (N-x)^(N-x)
となります
普通はここで終わりなのではないでしょうか

テキストでは式が読みにくいので紙に普通の式に変換して書き写してください
かなり大雑把な回答なのでおかしなところがあればご指摘ください