３次・４次方程式の解の公式

質問

一般３次方程式と４次方程式の解の公式を教えてください。解の公式が出ているサイトのＵＲＬでも結構です。

　ただし、カルダノの解法など、解法を尋ねているのではありません。あくまで最終的な解の公式を見たいのです。
おそらくかなり巨大なものになるらしく、教科書などには出ていません。それを見てみたいわけです。

　よろしくお願いいたします。

回答No.7

honisu · ベストアンサー

＃６です。
解法を尋ねているのではないんですね…失礼しました。具体的な解の公式が出ているサイトのURLを以下に示しておきます（３次方程式の解の公式）。

参考URL：

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/node11.html

お礼

ありがとうございます。一番下に出ているのが解の公式ですね。
４次方程式にも解の公式があるはずなんですが、一度も見たことがありません。どの教科書を見てもフェラーリの解法しか載ってません。

回答No.8

KanjistX

数式処理ソフトお持ちですか？
せっかくだから4次方程式の「解の公式」なるものをTeXに打ち出そうかと思いましたが、半日以上かかりそうだったのでやめました。
数式処理ソフトを使ってご自分のPCで解の公式をご覧になってください。
以下はMupadというフリーの数式処理ソフトのためのスクリプトです。

p:=(8*a*c-3*b^2)/(8*a^2):
q:=(b^3-4*a*b*c+8*a^2*d)/(8*a^3):
r:=(-3*b^4+16*a*b^2*c-64*a^2*b*c+256*a^3*e)/(256*a^4):
a1:=-8:
b1:=4*p:
c1:=8*r:
d1:=q^2-4*p*r:
D1:=-(4*(-b1^2/(3*a1^2)+c1/a1)^3+27*(2*b1^3/(27*a1^3)-(b1*c1)/(3*a1^2)+d1/a1)^2):
k:=0:
pm1:=1:
pm2:=1:
u1:=-b1/(3*a1)+((-1+sqrt(3))/2)^k*(-b1^3/(27*a1^3)+(b1*c1)/(6*a1^2)-d1/(2*a1)+sqrt(-D1/3)/6)^(1/3)+((-1-sqrt(3))/2)^k*(-b1^3/(27*a1^3)+(b1*c1)/(6*a1^2)-d1/(2*a1)-sqrt(-D1/3)/6)^(1/3):
x1:=(pm1*sqrt(2*u1-p)+pm2*sqrt(2*u1-p-4*(u1+pm1*(q/2)*sqrt(2*u1-p))))/2:

↑をMupadのプロンプトにコピー＆ペーストしたのち、

x1;

と入力すると解の一つが表示されます。

4つの解をそれぞれ表示するには
pm1とpm2をそれぞれ1か-1に設定することで実現します。
デフォルトはpm1:=1, pm2:=1なので

pm1:=-1:
x1;

と入力すると、最初とは異なる解が表示されます。同様に(pm1,pm2)=(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1)の設定で4次方程式の4解がそれぞれ表示されます。

3次方程式が絡んでいたのでkという変数も設定しましたが、おそらくpm1,pm2の組み合わせですべての解があらわされていると思います。ちなみにkは0,1,2のいずれかの値をとり、デフォルトは0になっています。

数式処理ソフトMupadの導入法については参考URL等を参照してください。
もし、Mathematica等、ほかの数式処理ソフトをお使いの場合でも、上記の計算については互換性が保たれていると思います。

参考URL：

http://momonga.t.u-tokyo.ac.jp/~paoon/OriginalDoc/MuPAD.html

回答No.6

honisu

４次方程式の解法には「フェラーリの解法」というのがありますよ。以下のURLにその内容が記されています。また、このURLには３次方程式の解法もリンクされているので、探してみてください。

参考URL：

http://www.sm.fukuoka-u.ac.jp/~hideki/equonweb/houteisiki9/houteisiki9.htm

回答No.5

tacky-express

＃２です。たびたびすみません・・・。
下に私が記述したものは『３元連立方程式』であり、
『３次方程式』ではありませんでした。
ここで深くお侘びと訂正をさせていただきます。

３次方程式は一応、解の公式なるものが存在し、
　　ｘ＝－ｂ／３ａ－（ｂ＋ｃ）
　　ｘ＝－ｂ／３ａ－（ｂω＋ｃω^2）
　　ｘ＝－ｂ／３ａ－（ｂω^2＋ｃω）
なんて紹介されていたりします。

ですが、実際のところ、カルダノの解法の結末部分です。高次方程式になりますと、代数学的に厳しくなってきますので、公式としてはすっきりと出せなくなるみたいです。

　とんだ早とちりをしてしまい、誤った回答を申し上げ、大変ご迷惑をおかけいたしました。

参考URL：

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/hoho.htm

回答No.4

sunspot_number

３次方程式の解法でしたら、
長沢工著「天体の位置計算」地人書館に載っています。
三角関数を使った解法です。

補足

ご回答感謝しますが、
解法が知りたいのではないと申し上げております。

回答No.3

tacky-express

＃２です。
すみません、検索キーワードの漢字を間違えました。

（誤）『線形台数』→（正）『線形代数』

申し訳ありませんでした…

回答No.2

tacky-express

『クラメールの公式』
x=〔x1,x2,x3,,,,,xn〕
に対して、
連立一次方程式
Ax＝B
の解は、Aが正則なn次正方行列であるとき、その解は
xi=(a1,a2,,,,ai-1,b,ai+1,ai+2,,,,an)/det(A)
で与えられます。

一応、いかに参考URLを掲載しておきます。
『クラメールの公式』『線形台数』などで検索してみてください。

http://amath.doshisha.ac.jp/~kon/lectures/2003.linear-algebra-I/html.dir/node36.html
http://www.geocities.co.jp/Technopolis/5112/kurameru.html

回答No.1

kingoo

こことかどうですかね。
参考URLに貼っておきます。

参考URL：

http://www.imasy.or.jp/~yotti/equation.html