複素関数の留数を求める問題について質問です

質問

sinz/z^6(z-π)

この関数の任意の点 z=a (つまり z=0 , z=π) における留数を求めたいのですが、これを留数を求める公式に当てはめていいものかよく分かりません。(sin0 , sinπ がともに0になってしまうので）

地道にローラン展開するしか方法はないのでしょうか。解法について教えてください。お願いします。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

z=0は5位の特異点であるためそのまま計算すると面倒です。
留数を求めるにはsin(z)/(z-π)をz=0の周りでテーラー展開し、z^5の係数を求めればよいでしょう。

sin(z)/(z-π)=sin(z)/{-π(1-z/π)}
として
sin(z)=z-z^3/6+z^5/120+R(z)
1/(1-z/π)=1+z/π+(z/π)^2+(z/π)^3+(z/π)^4+(z/π)^5+Q(z)
として、この二つの式を掛け合わせたもののうちzの次数が5となるものを選び出せばよいでしょう。

z=πでの留数は簡単。高々1位の特異点(実際は除去可能な特異点)ですので。
lim[z→π](z-π)*sin(z)/{z^6*(z-π)}
を計算すればよい。約分されるので簡単。

お礼

なるほど sinz と 1/(z-π) の二つのテイラー展開をかけあわせれば簡単にできますね。ありがとうございます。

回答No.2

info22_

>地道にローラン展開するしか方法はないのでしょうか。
Res(0)についてはそうですね。
sin(z)/(z-π)を5回微分してz→0としてもRes(0)は求まりますが、
sin(z)/(z-π)の5回微分の計算も大変です。
これも地道に計算するしかないですね（問題の作成者も相当意地悪ですね）。
いずれの方法でも地道に計算するしかないです。
計算すれば　Res(0)=-(π^4-20π^2+120)/(120π^5)
となるはずです(数式処理ソフトでの計算結果)。
参考（数式処理サイト）
http://www.wolframalpha.com/input/?i=residue%28sin%28z%29%2F%28z^6*%28z-Pi%29%29%2Cz%3D0%29

sin(z)/{(z^6)(z-π)}の分母の零点のz=π(一位)は、分子の零点（一位）でもあるので、特異点ではありません。つまりあえて書けば　Res(π)=0　ということです。

参考URL：

http://www.wolframalpha.com/input/?i=residue%28sin%28z%29%2F%28z^6*%28z-Pi%29%29%2Cz%3D0%29

お礼

Res(π)=0 は計算して確かめることができました。ありがとうございます。