等速円運動の加速度と単振動の加速度の関係

質問

等速円運動の加速度aは、半径A、角速度ωとすると、ａ＝Aω^2　ですよね。
そうすると、単振動の加速度は、等速円運動の加速度を射影したものだから、
ａsin ωt＝Aω^2sin ωtとなるのかなと思いました。
　ところが、教科書には、単振動の加速度a＝Aω^2sin ωtとあります。
　私の考えはどこが間違っているのでしょうか。
　等速円運動の加速度aと、単振動の加速度aはただ同じ文字を使っているだけ、つまりａsin ωtをaと現しただけで、等速円運動の加速度a≠単振動の加速度a　なのかなと考えたりもしています。
　高校生向けのご教示をお願いします。

回答No.3

keechan5

質問された方の考えはどこも間違っていません。
ただ、文字の使い方が混乱を招きやすいというだけです。
単振動の加速度をa(振),円運動の加速度をa(円)と表せば、
ａ(円)＝Aω^2
a(振)＝ａ(円)sin ωt＝Aω^2sin ωt
わかりにくいときは、添字をつけるか、
別の文字を使うかすればよいと思います。

お礼

間違っていないとのコメントを頂き安心しました。まさに、文字の使い方で混乱してしまいました。a(振)＝ａ(円)sin ωt＝Aω^2sin ωtという添字を使ったご教示が大変わかりやすかったです。今度から使ってみたいと思います。ありがとうございました。

回答No.2

bran111

等速円運動の円の中心を原点に置き、座標x,yを設定して、要するに横から眺めていると
x=Acosωt
y=Asinωt
微分して
vx=-Aωsinωt
vy=Aωcosωt
ax=-Aω^2cosωt　　　　　　(1)
ay=-Aω^2sinωt (2)
a=√(ax^2+ay^2)=Aω^2
ということを、質問者は言っていると思われます。

単振動では振り子のひもの長さをL, 振り子の質量をm,　ひもと鉛直線のなす角をθ、ひもと垂直方向の変位をxとすると釣り合いの式は
-mgsinθ=md^2x/dt^2
x=Lθを用いて
d^2θ/dt^2+gsinθ/L=0 (3)
θが十分小さくて
sinθ≒θ (4)
の近似が成り立つ範囲では
d^2θ/dt^2+gθ/L=0
初期条件として
t=0でθ＝θ0
とすると(3)の解は
θ＝θ0cosωt　　　　　　　　（５）
ω=√(g/L)
T=2π√(L/g)
となります。

問題の加速度は
a=d^2x/dt^2=Ld^2θ/dt^2
=-Lθ0ω^2cosωt
t=0における水平方向の変位をAとすると
A=Lθ0
a=-Aω^2cosωt　　　　　　　　（6）
cosωtとsinωtの違いは初期条件の設定の仕方によるので気にする必要はありません。-は振動の中心を通る鉛直線に向かうことを意味し、絶対値の意味で考えれば問題ではありません。

従って、円運動の加速度を横から眺めた(1),(2)と単振動の加速度(6)は式の上で一致しますが、物理的内容が違うことを認識してください。
　一番の違いは円運動の角速度は一定ですが単振動では角度そのものが式（5）によって変化している点です。
　内容が異なるのに結果が一致したと見える原因は(4)の近似をしたことにあります。θが大きくなって(4)の近似が効かなくなると、運動の形態は単振動ではなくなります。

お礼

近似したために角度そのものが式によって変化している点を理解していませんでした。論理的に説明していただき理解することができました。理解できなかった理由がわかりスッキリしました。ありがとうございました。

回答No.1

nananotanu

じゃあ、等加速度直線運動の加速度はどのように表されるんですか？

F＝maじゃおかしいことになるよね。

お礼

回答ありがとうございました。まだ、学習が進んでおらず、運動方程式との整合性についてはまだ理解できませんが、今後ゆっくり考えてみたいと思います。