等速円運動の加速度を求める問題です

質問

極座標系のｒ方向及びΘ方向単位ベクトルをそれぞれerベクトル、eΘベクトルとあらすとき
等速円運動している物体の加速度が　a=-rω＾２(er)ベクトルと与えられることを示すのですが
半径ｒ＝ｒ（er）ベクトル　となりこれを微分して
　　ｖ＝r'（er)ベクトル+r(er)'
　　　＝r(er)'
　　　＝r(eΘ）
とここまであってますか？
そのあともう一度微分して加速度にするのだと思いますが
どこでωを代入すれば a=-rω＾２(er)という式になるのですか？
ちなみに erベクトル＝cosΘi+sinΘj 　　eΘ＝-sinΘi+cosΘｊ　です

回答No.2

NemurinekoNya

x = acosθ　→　x = -aθ'sinθ　→　x'' = -a(θ')^2cosθ
y = asinθ　→　y' = aθ'cosθ　→　y'' = -a(θ')^2sinθ

速度のr方向成分 = cosθ・x' + sinθ・y' = 0
速度のθ方向成分 = -sinθ・x' + cosθ・y' = aθ’

加速度のr方向成分 = cos・x'' + sinθ・y'' = -a(θ’)^2
加速度のθ方向成分 = -sinθ・x'' + cosθ・y'' = 0

だわさ。
　aは円の半径
等速円運動なので
　θ'' = 0
　θ' = ω

この方法で、
x = rcosθ　→　x' = r'cosθ - rθ'・sinθ　→　x'' = …
y = rsinθ　→　y' = r'sinθ + rθ'・cosθ　→　y'' = …

とすれば、より一般の極座標の速度、加速度も求まります。

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半径ｒ＝ｒ（er）ベクトル　となりこれを微分して
　　ｖ＝r'（er)ベクトル+r(er)'
　　　＝r(er)'
　　　＝r(eΘ）
とここまであってますか？
～～～～～～～～
もうすでに、ここで間違っている！！
　(er)' = (cosθ, sinθ)' = θ'(-sinθ, cosθ) = θ'(eθ)
でしょう。
ほいで、
　θ' = ω
だから、
速度はθ方向の向きで、その成分、大きさは「rω」になるのと違うかい？

速度ベクトルは、
rω(-sinθ, cosθ)だから、これを時間で微分すると、
　rωθ'(-cosθ, -sinθ) = -rω^2(er)
となります。
加速度の大きさは、rω^2で、その向きは半径方向と反対の向きということになります。

回答No.1

hitokotonusi

θの微分が抜けてます

>＝r(eΘ）

ではなく

＝rθ'(eΘ）

[ (er)'=θ' eθ ]

これをもう一度微分して，ω＝θ'とすればほしい式になります。
ただし，等速円運動なので

ω＝θ'＝一定，θ''=0