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単振動の速度
高校物理の単振動における速度について質問します。 私が利用している参考書の単振動の速度の項目中で、P'の速度ｖは、Pの速度ｖ0（＝ｒω）に等しいから… とありますが 「速度ｖ0（＝ｒω）」←なぜ＝ｒωなのかわかりません。 詳しい方がいらしゃれば、説明をお願いします。 ＜補足説明＞ 等速円運動と単振動との関係として、テキストでは、半径ｒの円周上を点Pが速さｖ0で等速円運動しているところを示している。この円と同一平面上にある直線に対して、物体Pから下ろした垂線の足P’のことを物体Pの正射影という。 （←記号の定義です）
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補足説明をお書きですが、これは理解しておられると考えていいのでしょうか。そうならば、変位をあらわす式が下の式である、ということはお分かりですね。 ｘ＝ｒｓｉｎωｔ です。 これをｔで微分して 速度ｖ＝ｒωｃｏｓωｔ が得られます。 つまり、変位（距離、位置）をｔで微分したら速度になるということです。 この速度の式でｔ＝０を代入すると、ｖ０＝ｒω となります。 高校の物理の範囲では微分積分を使わないですので、上の式変形はあまりよくないのですが、一番すっきりしていると思います。 補足説明について理解できないということでしたら、さらにやりとりをする必要がありますね。
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ｒω→０→－ｒωまで速度は変わります。 単振動のばやい、ｒω成分のみの所は、頂上の所です。 （Ｘ軸に平行な成分） Ｙ＝０では、ｒωはＹ軸に向きます。Ｘ軸に進む成分は０です。 Ｘ軸方向への加速力として働きます。
お礼
ありがとうございます。 すこしづつわかってきました。 速度最大となるrω＝rθ/tなので、半径rが大きいほど速度が大きくなるわけですね。 感覚的には、小人になって時計の針の先に乗っかったときの進む速度と、人工衛星に乗船したときの進む速さとの違いがあるというわけですね。
- sanori
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＞＞＞ θの意味がいまひとつわかりません。 θというと、どういう意味合いになるのでしょうか？ θは角度です。中心角と考えてください。 弦の両端から、それぞれ円の中心まで直線を引くと、 扇形になります。 その扇形の中心角がθです。 θの単位を度にするかラジアンにするかですが、 前回書いたとおり、半径１の円の円周上にある弦の長さでもって角度の単位を規定するのが便利です。 その単位こそが、ラジアンだというわけです。 ＞＞＞ 2π＝θでよいのですね。 こんがらかっているようですね。 2π＝θ としてしまっては、θはπに２をかけただけの、 単なる定数（6.28・・・）になってしまいます。 θ＝２π というのは、中心角θが２π（＝３６０度）であることを示しますよね。 それは、度を単位にした角度で言えば３６０度です。 また、扇形で言えば、中心角３６０度の扇形、すなわち、円です。 まとめますと、 ・θとは角度のこと。単位はラジアンにするのが便利。 ・ラジアンとは、その角度θを中心角にした、半径１の扇形の弦の長さとして規定された単位。 ・角度θの単位がラジアンであれば、ｒθは弦の長さである。 （角度の単位をラジアンでなく、度にしてしまうと、そうはいかない。） ・ωは単位時間当たりの角度の変化（＝角速度） ・θにｒをかければ、円周上の距離になる。 ・等速円運動とは、ω＝θ／ｔ のこと。 ・等速円運動の速さＶ0は、距離を時間で割ればよいので、 Ｖ0÷ｔ ＝ ｒθ ÷ ｔ ＝ ｒ（θ／ｔ） ＝ ｒω です。 これにて退散・・・・・
お礼
ありがとうございます。 数学の参考書に l/r=θ [θ：実数]と表示があり、やっとわかりました。 つまり、θは円の半径に関係しない、円の角度に対する割合なんですね。 ω：１秒間に回転する円の中心角 （↑単位はradではなくrad/sなのですね）
- sanori
- ベストアンサー率48% (5664/11798)
まだ適切な回答がないと思いますので、投稿します。 基本に立ち返る必要があります。 すなわち、 角速度（＝ω）が何を意味するか、ということに、さかのぼらないといけません。 ω[ラジアン/s]は、１秒当たりに進む角度θ[ラジアン]のことです。 ところが、θの定義は元々何であったでしょうか？ 物理では、角度の単位として、通常、度（°）ではなく、ラジアンを使います。 ラジアンとは、すなわち、半径１の円周の一部（＝弧）の長さであり、 その弧に対応する角度をθラジアンと規定しています。 ですから、１周は２πラジアン。弧の長さはθラジアンです。 半径ｒの円周であれば、ｒに比例して、１周の長さは２πｒ、弧の長さはｒθです。 つまり、円周上のｒθは長さと同じなのです。 １秒当たりに進む距離は、時間をｔと置いて、ｖ＝ｒθ／ｔです。 ところが、角速度ωという概念を使えば、ω＝θ／ｔなので、 ｖ＝ｒθ／ｔ＝ｒ（θ／ｔ）＝ｒω となります。 もしも、角度の単位に度を使ったらどうなるでしょうか？ 弧の長さは ２πｒ×角度／３６０ になってしまいます。 これでは非常に不便なので、ラジアンが採用されています。
補足
ありがとうございます。 θの意味がいまひとつわかりません。 2π＝θでよいのですね。 θというと、どういう意味合いになるのでしょうか？ 基本的なことですいません。よろしくお願いします。
←なぜ＝ｒω（Ａω）なのかわかりません。 だったらいいから無視しろ。「無視。」＾○＾； http://www.mech.cst.nihon-u.ac.jp/studies/okano/studies/phys/butsuri6.html 良く見よう。 Ｖ＝Ａω＋ＣＯＳωｔ ０度のばやい、Ｖ＝Ａωだっ！＾○＾；
- Mayday_Mayday
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単純にこう考えたらどうでしょう。 速度＝距離÷時間 この場合の距離は円周の長さは、２πｒ 円周を１周する時間をT したがって、速度V0＝（２πｒ）/T 周波数ｆは1/Tなので、速度v0＝２πｒｆ また、角速度ω＝２πｆ より、 v0＝ｒω
お礼
ありがとうございます。 速度と角速度を対応させたのですね。 参考にさせていただきます。
- ymmasayan
- ベストアンサー率30% (2593/8599)
> 「速度ｖ0（＝ｒω）」←なぜ＝ｒωなのかわかりません。 ωはラジアン/sを単位とする角速度です。 速度＝半径×角速度です。 なお、この質問に関しては補足説明の部分は関係有りません。
お礼
＞速度＝半径×角速度です ありがとうございます。 参考にさせていただきます。
お礼
＞ｘ＝ｒｓｉｎωｔ です。 ＞これをｔで微分して 速度ｖ＝ｒωｃｏｓωｔ が得られます。 ありがとうございます。 数学もこれからマスターするつもりなので、今後の参考にします。
補足
直接は関係ないかもしれませんが、物理で微分積分が利用できることがわかりました。（使い方はわかりませんが…） ちなみに、微分と速度に関してですが、瞬間の速さ、平均の速さ、グラフの傾きと速度がなんらかの関連してくるのですね…。詳しい表現ができなくてすいません。