等速円運動の加速度

質問

等速円運動は速さは変わらないけれど向きは変わるので加速度運動であるというのは分かります。
しかし、なぜ速さが変わらないのに単位が「m/s^2」なのでしょうか？

回答No.9

yammy-j · ベストアンサー

> 1秒あたりの速さの変化は、加速度の大きさである√2にどんどん近づいていく、ということでよろしいのでしょうか？
> そして、速さの変化の方も永遠に√2になることはないとの認識でよろしいのでしょうか？

これも計算してみましょう。

速さは速度の絶対値なので

|v| = √(vx^2 + vy^2)

vx = 1 - t, vy = t より

|v| = √(2*t^2 - 2*t + 1)

「速さの微分」が「速さの変化率」なので

d|v|/dt = (2*t - 1)/√(2*t^2 - t + 1)

極限を取るために分子分母をtで割って

d|v|/dt = (2 - 1/t)/√(2 - 1/t + 1/t^2)

t → ∞ のとき d|v|/dt → 2/√2 = √2

と、加速度の大きさである√2に収束します。

添付したグラフは横軸に時間、縦軸に速さの変化率を取ったものです。
t<0.5では速度と逆向きに加速度が働くのでd|v|/dtは負の値を取り、その後はずっと正の値を取ります。さらにtを大きくしていくとグレーの線で示した√2に漸近します。

極限をとった結果、何らかの値に漸近するというときは「永遠にその値にならない」という言い方ももちろん出来るのですが、そういう言い方は普通は天邪鬼で「充分長い時間をおけばその値になると考えて差し支えない」と言うほうが素直な気がします。

お礼

ありがとうございます！

回答No.10

noname#195146

>なぜ速さが変わらないのに単位が「m/s^2」なのでしょうか？

　ニュートン第2法則の式は、F＝maですね（F：力、m：質量、a：加速度）。等速円運動は、常に中心方向への（一定の）力が働いています（そうでないと、等速直線運動になってしまう）。つまり、F≠0です。ということは、a＝m/F≠0でもあるわけです。

　速度は、速さと方向の二つから成るものです。そして、等加速度直線運動での加速度の単位がm/s^2であるなら、同じ（形の）式から導かれる等速円運動の単位もm/s^2です。

　まとめ直すと、等加速度直線運動は方向が変わらず速さが変わり、等速円運動は速さが変わらず方向が変わりますが、どちらも加速度はa＝m/Fで定義されますから、単位（あるいは次元）は同じなんです。

お礼

ありがとうございます。

回答No.8

yammy-j

> 確認ですが、その例の場合、速度ベクトルの傾きは－2・－3/2・－4/3・－5/4とどんどん加速度ベクトルの傾き－1に近づいてはいきますが、速度の向きは永遠に加速度の向きにはなりませんよね？

説明のための例だったので、あまりまじめに検討するのもアレですが計算してみましょう。

vx = ax * t + vx0
vy = ay * t + vy0

なので

vy / vx = (ay * t + vy0)/(ax * t + vx0)

(vx0,vy0) = (1,0)
(ax,ay) = (-1,1)

を代入して整理すると

vy/vx = t / (1 - t)

t → ∞ のとき vy/vx → -1

速度ベクトルの向きが永遠に加速度ベクトルの向きにならないと言うべきか、加速度ベクトルの向きに漸近するというべきか・・・。

グラフも載せておきます(アップロードに失敗してたらごめんなさい)。
横軸が時間で赤線がvy/vxです。
グレーの線がvy/vx=-1つまり加速度ベクトルの向きです。
赤の線がグレーの線に漸近している事が読み取れると思います。

お礼

ありがとうございます！

補足

説明のための例として出して頂いたものを引きずってしまって申し訳ありませんが、その例の場合は、速度の向きはどんどん加速度の向きに近づいていき、1秒あたりの速さの変化は、加速度の大きさである√2にどんどん近づいていく、ということでよろしいのでしょうか？
そして、速さの変化の方も永遠に√2になることはないとの認識でよろしいのでしょうか？

回答No.7

Tacosan

速さが変わろうと変わるまいと, 加速度の次元は L T^-2 だし, その結果として加速度の (SI におけるコヒーレントな) 単位は m/s^2.

他の単位 (というか次元) になりえるんでしょうか?

お礼

ありがとうございます。

回答No.6

customar

距離と変位も［ｍ］。
速さも速度も［ｍ／ｓ］。

距離が変わらなくても、距離の向きは変わるので速度（運動）だと分かります。しかし、なぜ距離が変わらないのに……。

説明抜きに馬鹿にできるご質問ではないと思います。それこそ等速だというあたりから。私にはまとめられませんが。

お礼

ありがとうございます！

回答No.5

yammy-j

> たとえば加速度が5m/s^2ならば、毎秒5m/sずつ速さが増える（つまり変わる）ことを意味しますよね。
まずこれが間違いです。
重要な点は、加速度は「速さ」の変化率ではなく「速度」の変化率なのだということです。

速度の方だけベクトルで考えて、加速度のほうはスカラーとして考えてしまっているのが質問者さんが躓いている理由ではないかと思いました。

速度をベクトルの成分で(vx,vy)と書くなら、当然加速度も(ax,ay)とベクトルの成分表示で書けます。

円運動からは離れてしまいますが、具体的に数字を入れて考えて見ましょう。
ある瞬間t=0[s]に速度(vx,vy)=(1,0)[m/s]で動いている物体があるとします。
x方向に1[m/s] y方向に0[m/s]なので速さは√(1^2+0^2)=1[m/s]です。

この物体に(ax,ay)=(-1,1)[m/s^2]の加速度がかかって等加速度運動をしているとします。
x方向に-1[m/s^2] y方向に1[m/s^2]なので加速度の大きさは√(1^2+1^2)=√2[m/s^2]です。

これから1秒後のt=1[s]のときの速度を計算すると(vx,vy)=(0,1)[m/s]となります。
加速度は√2[m/s^s]ですが1秒後の速さはやはり1[m/s]で見かけ上変わっていないように見えます。
しかし、速度は変わっているのでこれは加速度運動です。

x方向の加速度の単位は毎秒1[m/s]ずつx方向の速度が変化しているので[m/s^2]です。同様にy方向の加速度の単位も[m/s^2]です。
速度ベクトルの各成分の単位[m/s]と(速度の大きさである)速さの単位[m/s]が同じである事と同様に、加速度ベクトルの各成分の単位[m/s^2]と加速度の大きさの単位は同じ[m/s^2]です。

余談：
「速度」の大きさのことを「速さ」と呼びます。これに対して「加速度」の大きさのことは「加速さ」？？？
『「速度」は「速さ」と「向き」である』と皆さん口を酸っぱくして言うわけですが「加速度」だってベクトルな訳ですから『「加速度」は「加速度の大きさ」と「向き」だ』と強調すべきなのだと思うのですが、加速度という言葉はアドホックに「ベクトルとしての加速度」と「加速度の大きさ」と両方の意味で使われることがある気がします。

お礼

ありがとうございます！
とても分かりやすいです。

補足

確認ですが、その例の場合、速度ベクトルの傾きは－2・－3/2・－4/3・－5/4とどんどん加速度ベクトルの傾き－1に近づいてはいきますが、速度の向きは永遠に加速度の向きにはなりませんよね？

回答No.4

hitokotonusi

角度が無次元なのが理解を難しくしていますね。

添付図のように速度ベクトルがΔt秒間にΔθ回転したとします。
このときのベクトルの変化量がΔvで添付図では赤で書いてあります。
Δθが小さければΔvは円弧の長さで近似できますから，

Δv = vΔθ

したがってその間の加速度は

Δv/Δt = v[m/s] (Δθ/Δt [rad/s])

となり，単位は(m/s)(rad/s)となりますが，radは無次元量で1でもかまわないので，結果的にm/s^2となります。

半径rの円運動ではv = r(Δθ/Δt)の関係が成り立つので，加速度は

a = Δv/Δt = v^2/r

で，よく見る向心加速度の形になります。ω=Δθ/Δt と書けば

a = rω^2

ともなりますね。

お礼

ありがとうございます。

回答No.3

ORUKA1951

＞等速直線運動においては向きは変わるけれども、速さは変化しませんよね。
　しっかり文章を読む訓練をしましょう。理科や数学といった理系科目が得意になるためには国語力--読解力をあげることが最大のポイントです。理系は文系以上に国語力が必要。
　No.1の回答を何度も、何度も読み直してみましょう。加速度は速さを変える力ではなく、速度を変える力ですよ。!!!
　分かりやすい例としてあげた、真上への放物を考えると、発射されたときと元の高さに戻ったときは、速さは全く同じです。そのニ地点だけについて見ると!!速さは全く変わらず、速度のうちの方向だけが変わっています。
　彗星や惑星の軌道などの円錐曲線( http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E9%8C%90%E6%9B%B2%E7%B7%9A )上を移動する運動は加速度運動です。
　⇒ケプラーの法則 - Wikipedia( http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B1%E3%83%97%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87 )
　も読んでおくこと!!

　円運動の前に放物運動を確認しましょうといいましたが、例えば斜めに打ち上げられた大砲の弾の弾道は、放物線を描きますが、この時に初期値を垂直方向と水平方向に分けますよね。このときに水平方向の速さ【速度】は全く変わっていません。上下方向の速さ(速度)は変化しています。
　この放物線の打ち上げ角度をどんどん低くしていきますと、打ち出された瞬間は水平方向成分の速度は変わろうとしていないのですが、垂直方向＝すなわち進行方向と直角の方向の速さ（速度）は変化します。・・・・これが連続している状態
・常に進行方向へは加速度が働かないで
・進行方向と直角方向に加速度が働いて速度が変わっている
　のが等速円運動なのです。

　No.1とこの文章を何度も読み返して、【はやさ】【そくど】の違いを理解しなさい。

　科学を学ぶには国語の力が最も必要なのですからね。そしたら、原理を理解できてそれで答えが出せるようになる。暗記する量を徹底的に減らせる。

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

Tacosan

2つ目の文章は何を言っているのかさっぱり分からない.
・何の単位が「m/s^2」だといっている?
・「速さが変わらない」ことと (その何かの) 単位との間にどんな関係がある?

補足

＞何の単位が「m/s^2」だといっている?

加速度です。

＞「速さが変わらない」ことと (その何かの) 単位との間にどんな関係がある?

たとえば加速度が5m/s^2ならば、毎秒5m/sずつ速さが増える（つまり変わる）ことを意味しますよね。
しかし、等速円運動においては、向きは変わるけれども、速さは変わりませんよね。
ここが分かりません。

回答No.1

ORUKA1951

＞なぜ速さが変わらないのに
　向きは変わる＝（速度が変わっているの）で・・・とあなた自身が書かれている。
　速さはスカラー量で大きさしかありませんが、速度は向きを含みます。
　加速度を受けない運動を、等速度運動または、等速直線運動と言いましたね。
　力を受けると、物体の【速度】は変わります。速さか方向、またはその両方が変化するのです。その力を質量で割ったもの・・

　速さは変わらないが速度が変わっている。

　最も分かりやすいのは、放物運動かな
垂直に打ち上げられた物体は、下方向に力を受けますから加速度の向きと運動の方向は逆で、いずれ速さが変わります。方向は上向きから下向きに変わります。
そして元の位置に戻った時には当初の「速さ」になっています
　　　　　　　　　　　　　　　　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
が、速度はマイナスになっています。加速度を受け続けてきたからですね。

　斜めに放り出したときや水平に放りだしたときも考えて見ましょう。

速さと速度は明確に区別すること!!

お礼

ありがとうございます。

たとえば、加速度が５m/s^2ならば、1秒間に５m/sずつ速さが増えていくことを意味しますよね。
でも、等速直線運動においては向きは変わるけれども、速さは変化しませんよね。
ここが分かりません。

補足

間違えました。
等速直線運動ではなく等速円運動です。