幾何問題中学

質問

両岸が平行な川をへだてて、2地点A,Bがある。岸に垂直な橋PQをかけ、AからBへ橋PQを渡って行くのに、その道のりが最小となるようにしたい。 橋PQの位置はどこにすれば良いか答え、そのとき道のりが最小となることを説明しなさい。
この問題の証明がわかりません。どなたか教えてください。
証明は詳しくお願いします、、！

回答No.3

atkh404185

両岸が平行だから、橋ＰＱはどこにあっても、長さは等しいから、
ＡＰ＋ＢＱ　が最小になる　点Ｐ　を求めればよいわけですが、

図が添付できないので、言葉だけになりますが・・・。

添付写真の、
下の川岸が、上の川岸に重なるように平行移動すると
点Ｂも同じように平行移動します。
この移動した点を点Ｂ’とすると、線分ＡＢ’ と川岸との交点がＰ（Ｑ）になります。
これをもとに戻せばよいわけですが・・・。

証明は、
下の川岸を、上の川岸まで平行移動した図で考えればよいです。

くっついた川岸上に、点Ｐ以外の点Ｒをとると、（点Ｐの右側でも左側でもどちらにとっても）
必ず、三角形ＡＲＢ’ ができます。

三角形の、２辺の長さの和は、残りの辺の長さより　大きい　から、

ＡＲ＋ＲＢ’＞ＡＢ’
つまり、
ＡＲ＋ＲＢ’＞ＡＰ＋ＰＢ’

になります。

これで、
ＡＰ＋ＰＢ’（＝ＡＰ＋ＱＢ）　が最小であることが
証明されると思います。

回答No.2

noname#215361

川がないものと仮定して考えると、2地点A、Bを線分で結んだ場合に道のりが最小になることが分かります。
最小の道のりは、このように考えた場合の線分ABの長さと橋PQの長さの和です。
A地点を通り川岸に垂直な直線を引いて、この直線とA地点側の川岸との交点をC、B地点を通り川岸に垂直な直線を引いて、この直線とB地点側の川岸との交点をD、この直線とA地点側の川岸との交点をEとします。
上で示した線分ABの長さは、√｛（AC+BD）^2+CE^2｝になります。
また、橋PQの位置は線分CEをAC：BDに内分した箇所になります。

回答No.1

noname#212313

川の幅は一定のようですから、橋のPQはどこにかけても同じ長さになりますね。

　ということは、曲線APQBの最小は、線分APと線分QBの長さだけで決まることになります。

　仮にPQの長さを0にしてしまうと、点Pと点Qは重なります。重なった点を新たに点Cと呼ぶことにすると、曲線ACBの長さを最小にする問題だということになります。

　当然ですが、曲線ACBが直線であるとき、長さは最小です。これが線分PQの長さが0でないとき（つまり元の図通り）であれば、線分APと線分AQが平行であるときということになります。

　高校以降だと座標を設定して距離を求め、微分して極小値を求める、なんてことをしますが、中学だとどこまでの証明を求められているか、よく分かりません。すみません。