この問題教えてください！

質問

この問題教えてください！

座標平面上において、放物線y=x^2上に異なる2点P,Qをとり、線分PQの中点をMとし、Mの座標を(a, b)とする。
(1) a=1, b=3のとき、線分PQの長さPQを求めよ。
(2) PQ=4の とき、b を a の式で表せ。
(3) PQ=4を満たしながらP, Qを動かすとき、b の最小値を求めよ。

(1)のPQが2√10になるのはわかりました。
それ以外の解答おねがいします。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

(2) PQ=4の とき、b を a の式で表せ。
＞点P(p,p^2)、点Q(q,q^2)とすると
(p+q)/2=a→p+q=2a、(p^2+q^2)/2=b→p^2+q^2=2b、
(p+q)^2=p^2+q^2+2pq=2b+2pq=4a^2、2pq=4a^2-2b
(p-q)^2=p^2+q^2-2pq=2b-(4a^2-2b)=4b-4a^2
以上の(p+q)^2=4a^2、(p-q)^2=4b-4a^2から
PQ=√{(p-q)^2+(p^2-q^2)^2}=√{(p-q)^2+(p-q)^2(p+q)^2}
=√{4b-4a^2+4a^2(4b-4a^2)}=√{4b-4a^2+16a^2b-16a^4}
=√{(4+16a^2)b-(4+16a^2)a^2}=4、二乗して
(4+16a^2)b-(4+16a^2)a^2=16
b={16+(4+16a^2)a^2}/(4+16a^2)=(4a^4+a^2+4)/(4a^2+1)・・・答
(3) PQ=4を満たしながらP, Qを動かすとき、b の最小値を求めよ。
db(a)/da={(16a^3+2a)(4a^2+1)-8a(4a^4+a^2+4)}/(4a^2+1)^2
={(16a^3+2a)(4a^2+1)-8a(4a^4+a^2+4)}/(4a^2+1)^2
=(32a^5+16a^3-30a)/(4a^2+1)^2
db(a)/da=0からaを求めると32a^5+16a^3-30a=a(32a^4+16a^2-30)=0
を解いてa=0、a=±√3/2
b(a)はaの偶関数であり、a→±∞のときにb→∞となるので、bは
a=±√3/2で極小、a=0で極大となる。よって、bの最小値は
a=±√3/2のときであり、
bの最小値={4(√3/2)^4+(√3/2)^2+4}/{4(√3/2)^2+1}=7/4・・・答

回答No.1

Tacosan

どこまでできた?

補足

(2)から全くわかりません。