ユークリッド空間内の幾何学のレポートです

質問

大学の講義のレポートです。
自分の力では解けなかったので質問しました。

【問題】
互いに他の外にある2定円A,Bと、定直線AXがあるとする。円Aと円B上にそれぞれ点P,Qをとり、直線PQが直線AXに平行、かつPQの長さが最小となるようにせよ。

全く分からないので詳しく説明していただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。

回答No.3

tmpname · ベストアンサー

さっきぱっと閃きました。
先ず答えを言いますと、円A, Bの半径をそれぞれa, bとします。
このときBを中心とする半径a+bの円Zを取り、円Zと円AXとの
交点の内Aに近い方をGとします（交点が無い場合は解がありません）。

Aを通りGBと平行な直線M, 及びBを通りAXに平行な直線Lとの交点を
Hとします。四角形AHBGは今平行四辺形で、AH=GB=a+b, AH//GBです。
この時PをAH上にAC=r, QをGB上にDB=sとなるように取ると、
Pは円A上、Qは円B上でPQ//AGになっています（で、GはAX上に
あったのでした）。このP,Qが答えです。
この時、Pでの円Aに対する接線をJ, Qでの円Bに対する接線をKと
すると、JはAPと垂直、KはBQと垂直であるから、JとKは平行に
なっています。

逆にPでの円Aに対する接線をJ, Qでの円Bに対する接線をKとして、
PQはAXと平行、JとKが平行でないとします。この時JとKが交わる
方向にPとQをそれぞれ円A, B上で動かせばPQ間はもっと小さく
出来るので、PQが最小の時JとKは平行でないといけません。
この時BQとAXとの交点をG, Bを通りAXと平行な直線LとAPとの
交点をHとすると、AP//GQよりGB=GQ+GB = AP+GB = r+sとなって、
P,Qが上で書いた方法で求まる点であることが分かります。

因みにAXがBを通るときはこんなことをしなくても分かると思います。

回答No.4

tmpname

因みにこういった作図の問題では、「仮に問題にあるような
点が求まったとして、ではその点はどのような条件を
満たしていないといけないか」と、条件をもっと精査することが
常套手段になります。

回答No.2

info22_

円A,円Bと任意点Xの位置関係でPQ//AXとなる点P,Qが存在しない（PQ//AXとなる平行線が引けない）場合が存在します。点Xが任意点といいながらXの存在領域が制限されます。
AXが共通内接線に平行ならP,Qは共通内接線の接点に固定されてしまいます。このときのPQは共通内接線の接点間の距離になります。
点Xの位置によりAX//PQとなるP,Qの存在領域が存在する場合もあります。この場合はPQの最小値が存在しますが、問題で与えられている条件や円の式が与えられていない今回の投稿内容では、数式的な解析は不可能でしょう。

回答No.1

info22_

２円A,Bの位置関係は分かりましたが、２円と直線AXとの位置関係が明確に書かれていません。図で位置関係を描いて添付して頂けませんか？

補足

2円と直線AXとの位置関係について

点Xは任意にとる点で、点Aは円Aの中心です。
したがって、定直線AXは円Aの中心と、任意の点Xを結んだものです。
点Xは任意であるので、点A以外であればどこでも良いです。