中１ 数学 幾何

質問

数学の冬休みの宿題です。
息子は「難しすぎてこんがらがった～！」と投げ出してしまいましたが、私は図を描きながら、なんと条件は整理できたけど、やっぱり？？？？。
どなたかこんなバカ親子に解き方を教えてください。

問題（原文そのまま）
Ａ地点からＣ地点までの途中にＢ地点があるジョギングコースがある。Ａ地点からＢ地点までの上り坂で道のりがｘｍ、Ｂ地点からＣ地点までは下り坂で道のりがｙｍであり、松田さん、竹田さんがこのコースでジョギングした。途中の休憩はないものとする。

松田さんはＡ地点をスタートし、Ｃ地点で折り返して、再びＡ地点まで走ってくるのにかかった時間は２時間３２分。
Ａ地点からＢ地点までかかった時間は、Ｂ地点からＣ地点までかかった時間より３９分長かった。
松田さんの走る速度は、上り坂は毎分60ｍ、下り坂は毎分100ｍ。
（1）ｘ、ｙの値をそれぞれ求めなさい。

（2）松田さんが出発してから何分後かに、竹田さんがＣ地点をスタートし、Ａ地点折り返して、再びＣ地点まで走たった。するとＡ地点とＢ地点の間で二人は初めて出会い、松田さんんがＣ地点で、竹田さんがＣ地点でそれぞれ折り返した後、Ｂ地点とＣ地点の間で再び二人は出会った。
最初に出会った地点と再び出会った地点の道のりは1160ｍ。
竹田さんの走る速度は、上り坂は毎分80ｍ、下り坂は毎分120ｍ。
Ａ地点と二人が初めて出会った地点の間の道のりを求めなさい。

回答No.8

shuu_01

みなさんと同じ答えなのですが、１日 何回も計算して、その度に計算間違いがあり、訂正して訂正してやっと同じ答えに辿り着きました

みんな計算が正確ですね！

【僕の解答】

（１）松田さんの走った時間をそのままたして
　　　　x / 60 ＋ y / 100 ＋ x / 100 ＋ y / 60 ＝ 152
　　　A から B にかかった時間は B から C より 39分 多かったので
　　　　x / 60 ＝ y / 100 ＋ 39

　　　この連立方程式を解くと
　　　　x ＝ 3600
　　　　y ＝ 2100

（２）松田さんが出発してから竹田さんが出発するまでの時間を a分
　　　松田さんが出発してから竹田さんと初めて出会うまでの時間を b分
　　　松田さんが出発してから竹田さんと再び出会うまでの時間を c分

　　　とします

　　　式を立てる前に、
　　　松田さんの格区間で要した時間は
　　　Ａ→Ｂ　3600 / 60 ＝ 60
　　　B → C　2100 / 100 ＝ 21
　　　C → B　2100 / 60 ＝ 35
　　　B → A　3600 / 100 ＝ 36

　　　竹田さんは
　　　C → B　2100 / 80 ＝ 26.65
　　　B → A　3600 / 120 ＝ 30
　　　A → B　3600 / 80 ＝ 45
　　　B → A　2100 / 120 ＝ 17.5 を計算しておきます

　　　初めて出会った時の
　　　　松田さんの A からの距離は　60 b
　　　　竹田さんの A からの距離は　5700 － 2100 － 120（b － a － 26.25）
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ 6750 － 120（b － a）
　　　再び出会った時の
　　　　松田さんの A からの距離は　5700 － 60（c － 60 － 21）
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ 10560 － 60c

　　　　竹田さんの A からの距離は　3600 ＋ 120（c － a － 26.25 － 30 － 45）
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ 120（c － a）－ 8550

　　　初めて出会った時の距離が等しいとおいて
　　　　　60 b ＝ 6750 － 120（b － a）
　　　　　整理すると　6b － 4a ＝ 225

　　　始めた出合った距離より再び出合った距離は 1160m 多いので
　　　　　60 b ＋ 1160　＝　10560 － 60c
　　　　　整理すると　6b ＋ 6c ＝ 940
　　　　　（２で割れるけど、後の計算のしやすさを考えてここでとどめた）

　　　再びであった距離が等しいとおいて
　　　　　10560 － 60c　＝　120（c － a）－ 8550
　　　　　整理すると　6c － 4a ＝ 637

　　　6b － 4a ＝ 225
　　　6b ＋ 6c ＝ 940
　　　6c － 4a ＝ 637

　　　の連立方程式を解くと

　　　a ＝ 39/4
　　　b ＝ 44
　　　c ＝ 338/3

　　初めて出合った距離は 60 b ＝ 60 ・ 44 ＝ 2640 メートル

【まとめ】
（１）x ＝ 3600、y ＝ 2100
（２）A地点と二人が初めて出合った地点の間の距離は　2640 メートル

回答No.7

ORUKA1951

ちょっと解いてみた
No.3,No.4,No.5です。
(2)のほう・・文章そのままに式にしてみる。
　最初に出会った地点と二回目に出会った地点は、(Aから3600mの)坂の頂上の両側にあるので、最初に出会った地点から頂上までの距離をxとする。
松田さん
　x/60 + 2100/100 + {2100 - (1160-x)}/60 で出会う
竹田さん
　(3600-x)/120 + 3600/80 + (1160-x)/120 で出会う

x/60 + 2100/100 + (940 + x)/60 = (3600 - x)/120 + 3600/80 + (1160 - x)/120
x/60 + 2100/100 + 940/60 + x/60 = 3600/120 - x/120 + 3600/80 + 1160/120 - x/120
x/60 + x/60 + x/120 + x/120 = 3600/120 + 3600/80 + 1160/120 - 2100/100 - 940/60
2x/60 + 2x/120 = 4760/120 - 2100/100 + 3600/80 - 940/60
3x/6 = 4760/12 - 2100/10 + 3600/8 - 940/6
3x = 2380 - 1260 + 2700 - 940
x = 960
よって、3600-x = 2640

回答No.6

yyssaa

（1）ｘ、ｙの値をそれぞれ求めなさい。
＞例えばＡ地点からＢ地点までの所要時間をab分(Ｂ地点からＡ地点までの
所要時間をba分)とすると、
ab+bc+cb+ba=152、ab=bc+39、60ab=100ba、100bc=60cb
これらを連立で解くとab=60、bc=21だから
x=60*60=3600(m)=3.6(Km)、y=21*100=2100(m)=2.1(Km)・・・答

(2)は「松田さんがＣ地点で、竹田さんがＡ地点でそれぞれ折り返した後」に訂正後、
＞松田さんが出発してからx分後かに、竹田さんがＣ地点をスタートし、
y分後にＡ地点とＢ地点の間で二人は初めて出会ったとすると、その間
に松田さんが走った距離は(x+y)*60(m)、竹田さんが走った距離は、Ｃ地点
からＢ地点までの上り2100(m)と、それに要した時間が2100/80=105/4(分)
だからＢ地点からＡ地点に向けての下り(y-105/4)*120(m)の合計となり、
Ａ地点とＢ地点の間の距離が3600mだから、
(x+y)*60+(y-105/4)*120=3600・・・・・(ア)。
再び二人が出会った地点は、初めて出会った地点(Ａ地点からＢ地点に
向かって(x+y)*60(m)の地点)からの道のりが1160mでＢ地点とＣ地点の間
だから、Ｂ地点からＣ地点に向かって(x+y)*60+1160-3600(m)の地点。
初めて出会った地点からその地点まで松田さん走った距離は、Ａ地点から
Ｂ地点までの上りの残り3600-(x+y)*60(m)、Ｂ地点からＣ地点までの下り
2100(m)、Ｃ地点から再び出会った地点までの上り2100-{(x+y)*60+1160-3600}
=4540-(x+y)*60(m)の合計であり、所要時間は上りが
{3600-(x+y)*60+4540-(x+y)*60}/60=407/3-2(x+y)(分)、下りが2100/100=21(分)
の合計470/3-2(x+y)(分)。
同じく竹田さんが走った距離は、Ａ地点までの下りの残り(x+y)*60(m)、
Ａ地点からＢ地点までの上り3600(m)、Ｂ地点から再び出会った地点までの下り
(x+y)*60+1160-3600=(x+y)*60-2440(m)の合計であり、所要時間は上りが
3600/80=45(分)、下りが{(x+y)*60+(x+y)*60-2440}/120=(x+y)-61/3(分)の合計
(x+y)+74/3(分)。二人の所要時間は等しいから
470/3-2(x+y)=(x+y)+74/3・・・・・(イ)
(ア)と(イ)を連立で解いくと、x=39/4、y=137/4
よって、Ａ地点と二人が初めて出会った地点の間の道のりは
(x+y)*60=(39/4+137/4)*60=2640(m)・・・答

回答No.5

ORUKA1951

No.3,No.4ですが・・
であった位置も間違えてませんか？？
　No.3の図参照

回答No.4

ORUKA1951

No.3です。
・・・・問２は問題文が間違ってないか確認、グラフを見てもそういう状況にはなりえないし、そもそも「松田さんんがＣ地点で、竹田さんがＣ地点でそれぞれ折り返した後、」じゃおかしいのでは？？？

補足

すみません。ご指摘通り問題文を写し間違っていました。正しくは「松田さんがＣ地点で、竹田さんがＡ地点でそれぞれ折り返した後、」です。

回答No.3

ORUKA1951

＞私は図を描きながら、なんと条件は整理できたけど、やっぱり？？？？。
　それで良いです。
確かに複雑な文章題ですね。
まず、文章から時間と距離のグラフを書いてみると良いです。
そして、文章をそのまま式にすることから始めましょう。
単位は分にしておいたほうが良さそうです。
＞松田さんはＡ地点をスタートし、Ｃ地点で折り返して、再びＡ地点まで走ってくるのにかかった時間は２時間３２分。
　※往路と復路は上下が反転するので・・
A→B　　　x/60
　　B→C　y/100
　　B←C　y/60
A←B　　　x/100
　x/60 + y/100 + y/60 + x/100 = 60*2 + 32
　(1/60)x + (1/100)y + (1/60)y + (1/100)x = 152
＞Ａ地点からＢ地点までかかった時間は、Ｂ地点からＣ地点までかかった時間より３９分長かった。
　(1/60)x = (1/100)y + 39
よって、
／　(1/60)x + (1/100)y + (1/60)y + (1/100)x = 152
＼　(1/60)x = (1/100)y + 39
が【問１】の連立方程式
／　(1/60)x + (1/100)x + (1/100)y + (1/60)y = 152
＼　(1/60)x = (1/100)y + 39

／　(5/300 + 3/300)x + (3/300 + 5/300)y = 152
＼　(1/60)x + (-1/100)y =　39

／　(8/300)x + (8/300)y = 152　　両辺に300をかける。
＼　(1/60)x + (-1/100)y =　39　　両辺に300をかける。

／　8x + 8y = 45600
＼　5x + (-3)y = 11700

／　 x +　　 y =　5700
＼　5x + (-3)y = 11700　(1)を3倍して加える

／　 x +　　 y =　5700
＼　8x +　(0)y = 28800

／　 x +　　 y =　5700　(2)を引く
＼　 x　　　　 =　3600

／　 　 　　 y =　2100
＼　 x　　　　 =　3600

[検算省略]

お礼

すみません。（2）は問題文を写し間違っていました。正しくは「松田さんがＣ地点で、竹田さんがＡ地点でそれぞれ折り返した後、」です。
（1）の解き方＋回答まで丁寧に教えていただきありがとうございました。その後、息子は自力で式はたてる所までできました。式は合っているので、感心してみていると、計算がうまくいかずに、３桁／４桁の分数で答えを出しています。
ありゃ、また英語の単語帳づくりを始めてしまいました。
私は答え合わせができて、すっきりです。（2）にも再チャレンジしてみます。

回答No.2

flemys

息子さんにやらせるべきなのでしょうが
なんか懐かしくなったので挑戦してみました。

(1) 往復にかかった時間が２時間３２分＝152分ということから
　　x/60 + y/100 + x/100 + y/60 = 152 という式が出せます。
　　約文通分して整理すると
　　x+y=5700という式になりますのでこれを(1)とします。

　　Ａ地点からＢ地点までかかった時間は、Ｂ地点からＣ地点までかかった時間より３９分長かった
　　ということから
　　x/60 - y/100 = 39 という式が出せます。
　　これも約文通分して整理すると
　　5x - 3y = 11700 となりこれを(2)とします。

　　あとは(1)と(2)を連立方程式のやりかたで解けば答えが出ます。

(2) やってみましたが分かりませんでした・・・
　　　中一の問題ってこんなに難しかったですっけ・・・？

お礼

すみません。（2）は問題文を写し間違っていました。正しくは「松田さんがＣ地点で、竹田さんがＡ地点でそれぞれ折り返した後、」です。
（1）を教えていただいた通りにやってみたらできました。息子にはもう少し悩ませてから、教えてどうか考えますね。ありがとうございました。

回答No.1

rivai2013

この問題は連立方程式ですか？

補足

おそらくそうだと思います。