すぐに回答を!運動方程式が解けません

質問

運動方程式mdv/dt=mg-kvを、初期条件t=0でv=0として解き、速度vを時間tの関数として表せ。

上記の解き方がわかりません。
相当悩んで考えましたが、わからないので、物理が苦手な私にも理解できるような解説をお願いします。

回答No.3

teppou

＞物理が苦手な私にも理解できるような解説をお願いします。
　この問題は、初等力学の本に必ず載っているものです。
　下記のサイトの方が分かりやすいかもしれません。
　http://hooktail.sub.jp/mechanics/resistdown/
　これで分からなければ、初等力学と微分積分と微分方程式の本を読んで勉強してください。
　このサイトで本当に物理が苦手な人に理解できるように説明するのは不可能だと思います。

回答No.2

bran111

mdv/dt=mg-kv
整理して
dv/dt+(k/m)v=g　　　（1）
これはvに関する一階線形微分方程式で係数が定数の場合です。
その解は一意的に決まることが保証されています。
解を求めるには以下のように考えます。
(1)にある関数P(t)をかけたものを作る。
P[dv/dt+(k/m)v]=gP　　　　（２）
左辺が
d(Pv)/dt
の形にまとめられるようにP(t)を選びます。つまり
d(Pv)/dt=Pdv/dt+vdP/dt=Pdv/dt+P(k/m)v
両辺を比較して
vdP/dt=P(k/m)v
dP/dt=(k/m)P
変数分離して
dP/P=(k/m)dt
積分して
logP=(k/m)t+C (Cは積分定数)
P=cexp((k/m)t) (c=expC）
このPを用いて(2) は
d(Pv)/dt=gPから
d[cexp((k/m)t)v]/dt=gcexp((k/m)t)
d[exp((k/m)t)v]/dt=gexp((k/m)t)
tで積分して
exp((k/m)t)v=(m/k)genp((k/m)t)+C'(C'は新しい積分定数）
v=mg/k+C'exp(-(k/m)t) (3)
初期条件t=0でv=0を用いて
0=mg/k+C'
C'=-mg/k
(3)に代入して
v=mg/k-mg/kexp(-(k/m)t)=(mg/k)[1-exp(-kt/m)]

回答No.1

f272

mdv/dt=mg-kv
dv/dt=g-(k/m)v
dv/dt+(k/m)v=g
exp(kt/m)(dv/dt+(k/m)v)=exp(kt/m)*g
(d/dt)(exp(kt/m)*v)=exp(kt/m)*g
exp(kt/m)*v=(m/k)exp(kt/m)*g-mg/k (∵v=0 at t=0)
v=(mg/k)-(mg/k)exp(-kt/m)
v=(mg/k)(1-exp(-kt/m))