抵抗が速度の二乗に比例する終端速度について

質問

落下させた場合
mdv/dt=mg-cv^2
の運動方程式を積分して終端速度がv=√mg/cになるのはわかるのですが、
もし初速度v0を与えてそれが√mg/cより大きい場合を計算すると
終端速度v=(v0+√mg/c)/2でいいのでしょうか？
計算するとこうなるのですが、運動方程式でdv/dt=0として計算すると√mg/cとなり初速度がなくても答えはかわりませんでした。
初速度を与え、それが与えない場合の終端速度より大きい場合の終端速度について教えてください。

回答No.1

hitokotonusi · ベストアンサー

左辺の

＞mg-cv^2

は力ですから，これが正ならば＋方向の力が，負ならば－方向の力が働きます。
この方程式は下向き(重力の向き)に正方向を取り，下向きの速度を持っている場合の式なので，
速度vも正(下向き)です。

終端速度はこの力が0になり等速度運動になったときの速さで，質問文にあるとおり，v=√[mg/c]です。

これよりも速度(下向き)が速かった場合，つまり，v＞√[mg/c]の時には，
力はmg-cv^2＜０となるのでマイナス方向(上向き)の力が働きます。
今の物体の運動は下向きに落下しているところですから，
上向きの力が働けば速さは減少していき，やがて終端速度v=√[mg/c]になったところで，力が0，つまり加速度0となり，等速運動になります。

逆に速さが遅かった場合には今度は下向きの力が働くので物体は加速され，
同じく，終端速度v=√[mg/c]になったところで，力が0，つまり加速度0となり，等速運動になります。

お礼

加速度をプラスのままで考えてしまいました。
迅速な回答ありがとうございます。