運動方程式

質問

運動方程式について質問があります。
図を掲載してはいけなく、非常にわかりにくいと思いますがお願いします。
例えば、x座標を下向きにとった場合、できた運動方程式を
mg-m(d^2x/dt^2)=0とします。
逆に、x軸を上向きにとった場合、運動方程式は
-mg-m(d^2x/dt^2)=0となるのでしょうか？？
自分的には、x座標の正負がかわったのだから
-mg+m(d^2x/dt^2)=0となるようなきがするのですが・・・
初歩的な質問で申し訳ないです。

回答No.5

matelin

＃４の補足をします。

ｇを方向も含めた重力加速度とすると、運動方程式の形は、次のように変わります。
ｇを方向も含めた重力加速度とするとは、ｇ＝（鉛直下向きに９．８ｍ/ｓ＾２）　とするということです。

このとき、物体に働く重力は、方向をも含めて、ｍｇ　となります。
物体の加速度は、＃４に説明したように、方向をも含めて、(d^2x/dt^2)　であります。

Ｘ軸の正の方向を鉛直下向きにとった場合、
運動方程式　Ｆ＝ｍａ　において、
　　Ｆ＝ｍｇ　、ａ＝(d^2x/dt^2)　
を代入することになるので、その結果は、
　　ｍｇ　＝　ｍ(d^2x/dt^2)　……（あ）

Ｘ軸の正の方向を鉛直上向きにとった場合、
運動方程式　Ｆ＝ｍａ　において、
　　Ｆ＝ｍｇ　、ａ＝(d^2x/dt^2)　
を代入することになるので、その結果は、
　　ｍｇ　＝　ｍ(d^2x/dt^2)　……（い）

この場合には、Ｘ軸の正の方向を上にとっても、下にとっても、
物体の運動方程式は同じものになります。
その運動方程式の解は
　ｘ＝１/2*g*t^2＋Ｖｔ＋Ａ　……（う）
です。ここで、ＶとＡは積分定数であり、その物理的意味は初速度と初めの位置です。

Ｘ軸の正の方向を鉛直下向きにとった場合、
　（う）において、ｇ＝（鉛直下向きに９．８ｍ/ｓ＾２）　＝９．８　ｍ/ｓ＾２　　になります。

Ｘ軸の正の方向を鉛直上向きにとった場合、
　（う）において、ｇ＝（鉛直下向きに９．８ｍ/ｓ＾２）　＝－９．８　ｍ/ｓ＾２　　になります。

回答No.4

matelin

こんばんは。
あなたの質問に答えるには、次のややこしい状況を理解しておく必要があります。
少し長くなりますが、最後までお付き合いください。

　速度や加速度や力などの、方向を持っている物理量を、代数記号で表す場合、
　(1)その代数記号が表すものに向きを含めるか、(2)含めないかの、２つの立場があります。

　そのことを説明するために、簡単な例として、ｘ軸上を負の方向に　６ｍ/ｓ　で走っている物体の速度をとりましょう。
　(1)の立場では、その物体の速度を、向きも含めて　ｖ　とします。この時　ｖ　＝－６　です。
　(2)の立場では、物体の速さを　ｖ　とします。この時　ｖ＝６　です。
　　そして、物体の速度は　－ｖ　である、とするわけです。

　質問者さんの質問に答えるには、まず初めに質問者さんが取り上げている運動方程式に出ている、各物理量を表す代数記号は、上記の(1)と(2)の、どちらの立場を採っているのかを、明確にしておく必要があります。

　ｍは質量であり、方向を持ちませんから、問題になりません。

　ｇは重力加速度です。重力加速度は常に鉛直下向きであるという方向を持ちます。質問者さんが書いている式中の　ｇ　は、(2)の立場に立ったものですね。すなわち、重力加速度の大きさだけを、ｇ　としているわけであり、ｇ＝９．８ｍ/ｓ^2　です。この時、　ｍｇ　は物体が受ける重力の大きさであり、それには方向は含まれません。なので、Ｆ＝ｍａ　のＦに重力を代入するとき、方向を考えて、ある場合には　＋ｍｇ　を、また別のある場合には　－ｍｇ　を代入するというように、場合に応じて＋やーを付ける必要があります。

　さて、最後に、ｘはどうでしょうか。これは物体の位置を表す代数記号です。そして、それには方向も含まれています。なぜなら、ｘ＝３なら、原点から正の方向に３ｍ離れた位置にあることになり、また　ｘ＝－４なら、原点から負の方向に４ｍ離れた位置にあることになる、と私たちは考えるわけですから、このｘは＋－の方向を含む量であることになります。これは(1)の立場です。まず、そのことを確認してください。
　次にｘの微分（時間についての微分）についてはどうなるでしょうか。ｘの時間微分は速度を表しますが、これには自動的に方向も含まれることになります。これは、微分の対象になるｘに方向が含まれているからです。
　さらにｘの２階微分（時間についての２階微分）についても、同じことが言えます。ｘの時間についての２階微分は加速度を表しますが、これにも自動的に方向が含まれます。
　結論として、(d^2x/dt^2)　は、方向も含めた加速度を表すことになります。

　そこで、運動方程式　Ｆ＝ｍａ　の　加速度ａ　に　(d^2x/dt^2)　を代入するときには、それに＋や－を付ける必要は無いことになります。なぜなら、　(d^2x/dt^2)　の中にすでに方向が入っているからです。

Ｘ軸の正の方向を鉛直下向きにとった場合、
運動方程式　Ｆ＝ｍａ　において、
　　Ｆ＝＋ｍｇ　、ａ＝(d^2x/dt^2)　
を代入することになるので、その結果は、
　　＋ｍｇ　＝　ｍ(d^2x/dt^2)　

Ｘ軸の正の方向を鉛直上向きにとった場合、
運動方程式　Ｆ＝ｍａ　において、
　　Ｆ＝－ｍｇ　、ａ＝(d^2x/dt^2)　
を代入することになるので、その結果は、
　　－ｍｇ　＝　ｍ(d^2x/dt^2)　
です。

回答No.3

thetas

蛇足ながら、No.1さんの回答の続きとして、

(1)のときは、ａ＝－ｇ（つまり、上向きに－ｇ）
(2)のときは、ａ＝＋ｇ（つまり、下向きに＋ｇ）

ということで、同じ結果が得られます。

回答No.2

noname#160321

式を展開してｘ^2の項を出してみて下さいｘが負でも正でも式の形は変わりません。
ですから二番目の式が正しいことになります。

回答No.1

ruim

とりあえず(d^2x/dt^2)はややこしくなるので
(d^2x/dt^2)= a
と書きますね。
まず運動方程式の基本の形は f = ma
です。そしてｘ軸をとる向きによって、下向きに重力は働くから
(1)上向きにとるならｆ＝-mg
(2)下向きにとるならｆ＝ mg
となります。そして質問の式の形のようにすると(全部左辺に以降すると)
f = ma
⇒ f -ma=0
となります。ここでさっきのｆを代入すれば
(1)-mg -ma=0
(2) mg -ma=0
のようにmgの符号は変わりますがmaの符号はそのままとなります。