運動方程式

質問

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|　　　　　　　　　　　　　　　|------＞x　
|-------バネ-----質量Ｍ
|　　　　　　Ｋ
|

このような系があるとします。
運動方程式をたてると、
Ｍd^2x/dt^2＝－Ｋx　になると思いますが
これは、初速度v0また、-v0どちらとの場合も
上記のような運動方程式になるのでしょうか？？
初速度-v0の場合、　
Ｍd^2x/dt^2＝Ｋx　と考えてしまいたい自分がいるので・・・。

少し、頭の中でこんがらがってしまったので質問させていただきました。
初歩的な質問ですがよろしくお願いします。

回答No.3

htms42

＞Ｍd^2x/dt^2＝－Ｋx　
初めにｘの方向を決める必要があります。
図の場合、右にバネが伸びている場合は正になっています。
力は元に戻る方向に働きますからｘ＞０の時（伸びている時）は左向きに働きます。それが－Ｋｘの（－）の意味です。元の位置に戻る方向に力が働きます。その位置での速度には無関係です。その位置から右に動くのか左に動くのかには関係がありません。
重力の働いているところで物体を投げた場合物体には常に下向きの加速度が生じます。物体の運動が上向きに起こるか下向きに起こるかには関係がありません。速度はどちら向きに変化していくかを言っているだけです。

回答No.2

sanori

こんばんは。

＞＞＞これは、初速度v0また、-v0どちらとの場合も
＞＞＞上記のような運動方程式になるのでしょうか？？

はい。そうです。

＞＞＞初速度-v0の場合、　
＞＞＞Ｍd^2x/dt^2＝Ｋx　と考えてしまいたい自分がいるので・・・。

ｖは　ｄｘ／ｄｔ　ですから、この方程式には、まだ登場していません。

実際にやってみましょうか。

簡単のため、
ｘ　＝　Ａsin（ωｔ + α）
と置きます。
（Ａは振幅、αはｔ＝０における位相）

ｄｘ／ｄｔ　＝　Ａωcos（ωｔ＋α）　　・・・（あ）

ｄ^2ｘ／ｄｔ^2　＝　－Ａω^2sin（ωｔ + α）

代入すると、
Ｍ・（－Ａω^2sin（ωｔ + α））　＝　－Ｋ・Ａsin（ωｔ + α）
なので、
Ｍ・ω^2　＝　Ｋ
が得られます。

なお、ｔ＝０　のときの位置を基準（ゼロ）とするならば、
ｘ　＝　Ａsin（ωｔ + α）
は、
０　＝　Ａsin（ω・０ + α）　＝　Ａsinα
となり、
α＝０　でなくてはいけません。

上記の（あ）は、
ｖ　＝　Ａωcos（ωｔ＋α）
と書くことができます。

α＝０　として、
ｔ＝０　のとき　ｖ＝ｖ0
という条件を与えれば、
ｖ0　＝　Ａωcos（０）　＝　Ａω
よって、
ｖ　＝　ｖ0・cos（ωｔ）
となります。

また、
ｔ＝０　のとき　ｖ＝－ｖ0
という条件を与えれば、
－ｖ0　＝　Ａωcos（０）　＝　Ａω
よって、
ｖ　＝　－ｖ0・cos（ωｔ）
となります。

初期条件をプラスからマイナスにすれば、対称な結果になることがおわかりいただけたかと思います。

以上、ご参考になりましたら。

回答No.1

R_Earl

> 運動方程式をたてると、
> Ｍd^2x/dt^2＝－Ｋx　になると思いますが
> これは、初速度v0また、-v0どちらとの場合も
> 上記のような運動方程式になるのでしょうか？？

そうです。

Ｍd^2x/dt^2＝－Ｋxは、『x座標の正負と、加速度の正負が逆になる』事を表します。
つまり、質量Mの物体がばねの自然長の時の位置より右側にある時は
質量Mの物体は『左向きに加速』し、
質量Mの物体がばねの自然長の時の位置より左側にある時は
質量Mの物体は『右向きに加速』するということです。

物体が右側にあると左側に加速し、物体が左側にあると右側に加速するので
物体は「左右に往復する運動」をすることになります。
これは初速度が右向き(初速度がv0)でも、左向き(初速度が-v0)でも同じはずですよね。

> 初速度-v0の場合、　
> Ｍd^2x/dt^2＝Ｋx　と考えてしまいたい自分がいるので・・・

『初速度の正負が入れ替わればx座標の正負も入れ替わるから、Ｍd^2x/dt^2＝Ｋxとなる』
と考えたのでしょうか(違っていたらごめんなさい)？
今回考えている「ばねを使った運動」では確かに、
初速度の正負が違えばx座標の正負も入れ替わります。
しかし、同時に加速度の正負も入れ替わります。
なので

Md^2x/dt^2 = -Ｋx
↓
M(-d^2x/dt^2) = Ｋx

となるので、結局Md^2x/dt^2 = -Ｋxという運動方程式に戻ります。

ちなみにＭd^2x/dt^2＝Ｋxだと次のような運動になります。

質量Mの物体がばねの自然長の時の位置より右側にある時は
質量Mの物体は『右向きに加速』し、
質量Mの物体がばねの自然長の時の位置より左側にある時は
質量Mの物体は『左向きに加速』する。

質量Mの物体が、ばねの自然長の状態より右に行ってしまうと、
そのまま右向きにどんどん加速しながら進んでいくという運動になります。
元の位置に戻ってくることはなくなり、そのまま宇宙空間に飛び出てしまうかもしれません
(その前にばねが壊れてしまうと思いますが)。
逆にばねの自然長の状態より左に行ってしまうと、
そのまま左向きにどんどん加速しながら進むという運動になります。