運動方程式の考え方

質問

質量mの金属球に長さＬの糸の先端を接着剤でつける。糸の他端を点Oに固定して鉛直に垂らす。球に水平な初速度v(0)を与える。ここで直交座標を点Oを原点とし水平方向（右向き正）をx軸、y軸（上向きを正）のように取るとき、運動方程式は、（Sは糸の張力）
　　mdv/dt=-mgsinψ（接線方向）…（１）
　　mｖ^2=S-mgcosψ（向心成分）…（２）
　（１）（２）に速度を内積して,辺辺加え
　初期条件ψ=0,v=v(0)を考慮して
　　S=mg(v(0)^2/gL-2+3cosψ）…（３）
が導けるが、　v(0)^2/gL＝5(ψ＝π）のとき、S=0,この時刻をt(0)とする。t(0)＜tの時、（３）を利用して
S>0を示し円軌道を続ける。ここがすっきりしません。t(0)＜tの時、円軌道上にある保障はないのに、どんな本も（３）（「つまり（１）（２）の運動方程式が成り立つことを前提として」）より説明されています。つまり、ｔ(0)まで円軌道しているのでΔt(極めて短い時間）後も円軌道上にあるはずであるから（つまり、運動方程式瞬間では変われないから）（１）（２）が成り立つとしてよいから（３）が成り立つのでS>0と考えてよいのでしょうか。ご指導を宜しくお願いします。

回答No.1

endlessriver · ベストアンサー

古い本のようですが
基礎物理学選書２２、力学演習、野上茂吉郎著、裳華房、１９８２年
のＰ９３の問い４．１１、解答Ｐ９９－１０２に詳しいです。

それによると初速が中間の速度のときにひもがゆるみ、Ｓ＞０とならない領域が示されています。
参照できれば良いのですが。

補足

ご指導ありがちうございます。私の疑問は、t(0)＜tの時、円軌道上にある保障はないのに、どんな本も（３）（「つまり（１）（２）の運動方程式が成り立つことを前提として」）より説明されています。つまり、ｔ(0)まで円軌道しているのでΔt(極めて短い時間）後も円軌道上にあるはずであるから（つまり、運動方程式瞬間では変われないから）（１）（２）が成り立つとしてよいから（３）が成り立つのでS>0と考えてよいのでしょうか。ご指導を宜しくお願いいします。

回答No.3

endlessriver

概略として前述の教科書によると「（３）が成り立つのでS>0と考えてよい」ではなく（１）（２）が成立する
ので（３）が導け、この式の中でＳ＞０の範囲を考察しようということだと思います。

＃２さんの解答の補足と同じことが書いてあるようです。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.2

peck55

専門外なので間違ってるかもしれませんが・・・

v(0)^2/gL＝5(ψ＝π）のとき、S=0,この時刻をt(0)とする場合、t(0)の時がSの最小値ですから、この条件であれば常に、S≧0と成るので、糸は緩む事は有りませんから、糸が伸び無い限り円軌道は保障されるのでは無いですか。？

お礼

ご回答ありがとうございました。

補足

ご回答ありがとうございます。２＜v(0)^2/gL<5のときは、v(0)^2/gL＝２－３cosψを満たすψでS=0になり、その後、放物運動になります。