物理の微分方程式の解き方がわかりません・・

質問

大学の物理で出された問題についてです。
微分方程式自体がわからなくて、解き方がさっぱりわかりません

どなたかヒントでも解法でもいいので教えてください。
よろしくお願いします。

以下問題です。

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質量ｍの物体がｘ軸上を運動しており、物体の速度ｖは、
m dv/dx + v = 0 ・・・（＊）
で与えられている。次の問いに答えよ。

(1)　微分方程式（＊）から速度 v(t) = dx(t)/dt を求めよ。
(2) t = 0 のとき、x = 0, v = v' として x(t) を求めよ。
(3) 微分方程式(＊)で表されるような物理現象の例を一つあげ、簡単に説明せよ。
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(1)から解けませんでした。
(3)の問題を解けるような、（＊）で表される運動のイメージもつかめず、困っています・・・

返答お待ちしています。

回答No.2

info22_

m dv/dx + v = 0 ・・・（＊）

(1)
特性方程式は
　ms+1=0
m＞0と考えられるから
　s=-1/m
　∴v(t)=Ce^(-t/m), Cは任意定数。

(2)
(1)から
　v(t)=dx(t)/dt=Ce^(-t/m) …(A)
　x(t)=-mCe^(-t/m)+C1 …(B)

>t=0 のとき、x = 0, v = v'
なので（A),(B)に代入
　v'=C
　0=-mC+C1
　∴C=v',C1=mv'
(B)に代入
　∴x(t)=mv'{1-e^(-t/m)}

(3)
自分で考えて見てください。

回答No.1

Quarks

m dv/dx + v = 0
のままだと見当が付き難いかも知れませんが、次のように変形してみると良いでしょう。
全体に　dx/dt　を掛けてみるのです。

m・(dv/dx)・(dx/dt)＋ｖ・(dx/dt)=0

第１項は、dx が"約分"されて　m・(dv/dt)=m・(d^2x/dt^2)
第２項は、dx/dt自体がｖですから、　v^2 となります。かくして

m・(d^2x/dt^2)=-v^2

これを解釈すると、左辺は　質量・加速度　ですから、物体に働く力です。右辺はその力がv^2に比例する大きさで、ｖの方向に対して逆向きに働く力（いわゆる慣性抵抗の類）だということがわかるはずです。

微分方程式を解くこと自体は難しくはないです。
dx/dt=v として
d^2x/dt^2＝d(dx/dt)/dt＝dv/dt　となりますから
dv/dt=-(1/m)v^2　と変形できます。さらに
dv/(v^2)=-(1/m)・dt　と、変数分離できてしまいました。
辺々を積分して
-(1/v)=-(1/m)t+C Cは積分定数
∴　v(t)=…

t=0で、v=v'　ですから　C=-(1/v')
これを使って　v(t)＝…　と書けます。
改めて
　v(t)=dx/dt　
として、更に積分を実行すれば、
x(t)が求まるでしょう。