航空機の運動について

質問

はじめまして。
現在航空機について学んでいるのですが、
航空機が離陸する場合の運動方程式

mdv/dt=T-D
T:推進力　D:抗力　v:飛行機速度
　※航空機タイヤと滑走路との摩擦を無視した場合。

となると思うんです。この運動方程式を自分で解いてみた結果、
v=√a*tan(b*t) ※a,bは推進力や抗力に関する係数をまとめたもの

という形で表せたんですが、速度がtanの関数として表されてしまったため、
離陸するのに必要な時間が大変短くなってしまい、現実的ではないと思うのですが、
この形は間違っているのでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.4

noname#94887

No.1～3です。追加で拙い助言をさせて頂きたいと思います。
（ここの欠点は締め切られるともう発言出来ないので．．．。）

ご自身で式を立てたり、公式を使う場合に覚えに自信がないと
いうとき、「次元」を確かめる、という方法をお勧めします。

これは物理系の式を解くとき共通ですが、単位にかかわらず、
重さ：mass = 「　Ｍ　」と置く
長さ：length =　「　Ｌ　」と置く
時間：time =　「　Ｔ　」と置く

これだと例えば速度は「Ｌ／Ｔ、or Ｌ＾（－１）」となります。
これを揚力の式に適応してみると：

Ｌ＝１／２　ｘ　ρ 　ｘ　Ｖ＾２　ｘ　Ｓ　ｘ　ＣＬ　．．．は

Ｌ：揚力　は　ｋｇ　で　「Ｍ」
１／２とＣＬ：無次元の係数なので　「１」
ρ：空気密度はｋｇ・ｓ＾２／ｍ＾４なので　「Ｍ・Ｔ＾２・Ｌ＾（－４）」
　　（No.3で kgm^4/s^2 と書いたのはタイプミスです。すみません。）
Ｖ：速度は　ｍ／ｓ　で「Ｌ・Ｔ＾（－１）」
Ｓ：面積は　平方ｍ　で　「　Ｌ＾２　」

ですので
Ｍ＝Ｍ・Ｔ＾２・Ｌ＾（－４）・［Ｌ・Ｔ＾（－１）］＾２・Ｌ＾２
．．．となり、乗数が相殺されて　左辺＝右辺・Ｍ＝Ｍになるので
この式は間違ってないと解ります。もし左辺と右辺の次元が一致しなけ
れば、式を書いた時に間違ったということです。

これで行くと、最初のご質問に返って、
＞v=√a*tan(b*t) ※a,bは推進力や抗力に関する係数をまとめたもの．．
は次元が一致しますか？　速度ならば右辺を解いたときに「Ｌ／Ｔ」の
形で出てこなければおかしいということになります。
　この方法は物理系を学ぶ方に学校で教えて欲しいものだと思っています
が現在そうなのかどうかは存知ません。お試し下さい。

回答No.3

noname#94887

No.1＆No.2です。 ご質問の件はごもっともですが、どうも私の
能力範疇を超える領域になりつつある様で自信はありませんが、
ものすごいざっくりで計算してみますと、

翼幅３０ｍクラスの航空機想定でスペックの解るものの例で；
wing area : 1000ft^2 = 90m2
weight : 100,000lbs = 45,000 kg
thrust : 15,500lbs x 2基　= 14,000 kg
speed : 360km = 100m/s
ρ : 1/8 kgm^4/s^2
wing Cd 　：0.01　
とすると

Ｄ＝１／２ｘ１／８ｘ １００＾２　ｘ　９０　ｘ　０.０１
　＝５６２.５ｋｇ

．．．なので、Ｄ：Ｔ　は　４％位だとなります。ただこれは
・全機抗力を考えればもっと増える。翼もフラップダウンだと
　もはや0.01ではない。
・加速中で速度が遅いときは逆にもっと少ない。
　等と考えると大きいと見るのか無視していいのか解らなくなり
ますが、もともとの式変形の省略根拠がレシプロ機を前提に書か
れたものである可能性もあります。大型機で考えた場合は速度も
違う上、二乗で効いてきますので確かに無視できないというお考え
も正しいかと思います。輸送Ｔ類等の方が当然パワーに余裕も無く、
Ｄ：Ｔの比が省略出来るほど小さくないという見方も正しいと
思います。小型機から大型機までの幾つかのパターンで計算して
比較されてはいかがでしょう。

回答No.2

noname#94887

No.１です。訂正いたします。とんでもない間違いを書いておりました。
Ｖ＝√（２／ρｘＷ／Ｓｘ１／ＣＬ）はただの揚力の公式から導かれる
ものですね。この場合Ｓは翼面積です。
　ウロ覚えとメモだけ頼りに記したのですが大失態でした。（・・；
式の変形時、
・ＤはＴに比べ小さいので無視。
・滑走中揚力も省略。
・加速度ｄＶ／ｄｔ　は一定とし　Ｖ／ｔとする。
　．．．とすると
Ｖ／ｔ＝ｇ（Ｔ／Ｗ－μ）　で　ｔの式にすれば時間です。
また離陸中平均速度をＶ／２と考えて離陸滑走距離Ｓｇは
Ｓｇ＝１／２・Ｖ・ｔ　で前項のｔを代入して求める、という
のが正解でした。訂正しお詫びいたします。

お礼

早速の回答ありがとうございます。（＾＾）

まず、No.1で教員に聞いたほうが早いとのことでしたが、
この科目を教えてくださっている教官が、
外部からの非常勤講師のため連絡をつけることが難しいため、
本サイトにて質問させていただきました。

つづいてNo.2ですが、
お教えくださった方法で問題を解こうとしたところ、
式変形で省略したところでまた質問があります。

＞・ＤはＴに比べ小さいので無視。
　⇒水平方向に働く力は、推力と抗力のみで、航空機が大きい場合には無視できなくってしまうと思うのですが、、、

＞・加速度ｄＶ／ｄｔ　は一定とし　Ｖ／ｔとする。
　⇒加速度が一定というのは「ＤがＴに比べて小さい」という時だと思うので、航空機が大きい場合にはやはり、、、

もしこの辺の事情を考慮したらどうなるかお教えいただければ幸いです。

回答No.1

noname#94887

＞航空機が離陸する場合の運動方程式
＞mdv/dt=T-D

↑これは合ってると思うのですが、
離陸滑走中の運動方程式：
Ｗ／ｇ　ｘ　ｄＶ／ｄｔ　＝　Ｔ－Ｄ－μ（Ｗ－Ｌ）
なので　Ｗ／ｇをｍ　、μは0.02程度で無視とすると
書かれたとおりになります。

変形して速度の式にした結果は
Ｖ＝√（２／ρｘＷ／Ｓｘ１／ＣＬ）　．．．となり
空気密度ρ、重量Ｗ、滑走距離Ｓ、揚力係数ＣＬの関数
になるはずです。ＣＬ最大ならＶは最小離陸速度です。

途中変形があまりに複雑で私にはここで過程を説明できる
自信は全くありません。
（突然に滑走距離が出てきたり、ＴからＶを求めたりする
方法は何なのかとか聞かれても多分無理．．．）

　ただ、お答え頂かなくともいいのですが、航空機について学
んでいる、とのことですが、教育者にご質問出来る環境にいな
いのですか？
　また、運動方程式が書いてある航空力学の教本ならばその後
に離陸速度や滑走距離の求め方も当然の様に書いてあると思う
のですが．．．？　この辺あたりとか↓

航空工学講座
http://www.jaea.or.jp/tosyo/koukuukougaku.html
鳳文書林　書籍
http://www.hobun.com/kokurikigakukogaku.html

航空力学の基礎 （これ↑よりちょっと難しい内容）
http://www.excite.co.jp/book/product/ASIN_4782840705/