運動方程式です

質問

一様な静磁場B=(0.0.Bο)において、質量m、電荷qをもつ荷電粒子の運動方程式は次式で表される。以下の問題に答えよ。
mdv/dt=q(v×B)

運動方程式が次式で表される事を確かめよ。
v＝{A1sin(qBο/m)t+A2cos(qBο/m)t,A1cos(qBο/m)t-A2sin(qBο/m)t,A3}

どのようにやったらこの式が出るのでしょうか。教えてください。

回答No.1

bran111 · ベストアンサー

ベクトルであることを↑を付けて表すと

B↑=(0.0.Bο) (1)

v↑=(vx,vy,vz) (2)

mdv↑/dt=q(v↑×B↑) (3)

B↑=(Bx,By,Bz)=(0.0.Bο) (4)

である。

ベクトルの外積の公式により

v↑×B↑=(vyBz-vzBy,vzBx-vxBz,vxBy-vyBx)

に(4)を代入して

v↑×B↑=(vyBz-vzBy,vzBx-vxBz,vxBy-vyBx)=(B0vy,-B0vx,0) (5)

(5)と(2)を(3)に代入して

md(vx,vy,vz)/dt=q(B0vy,-B0vx,0)

p=qB0/m　　　　　　　　　　　　　　　(6)

を用いて成分で書くと

d(vx)/dt=pvy (7)

d(vy)/dt=-pvx (8)

d(vz)/dt=0 (9)

これらは定数係数の連立微分方程式となっている。(7)の両辺をtで微分して

d^2(vx)/dt^2=pd(vy)/dt

(8)を代入して

d^2(vx)/dt^2=pd(vy)/dt=-p^2vx ⇒　d^2(vx)/dt^2+p^2vx=0 (10)

この解は２階定数係数微分方程式の解として、A1,A2を定数として次式で与えられる。

vx=A1sin(pt)+A2cos(pt) (11)

(7)より

vy=(1/p)d(vx)/dt

(11)を代入して

vy=A1cos)pt)-A2sin(pt) (12)

(9)よりA3を定数としてvzは

vz=A3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（13）

(11),(12),(13)に(6)を代入し(2)によってv↑を表すと

v↑=(vx,vy,vz)=(A1sin((qB0/m)t)+A2cos((qB0/m)t), vy=A1cos((qB0/m)t)-A2sin((qB0/m)t), A3)

お礼

ありがとうございます