おねがいします

質問

点A（2,1）から円x^2+y^2=1に引いた接線の方程式と接点の座標を求めよと言う問題の解き方が分かりません。教えてくれる人がいたら教えてくださいおねがいします

回答No.2

akinomyoga · ベストアンサー

円外部の点から円に接線を引くとき、接線は必ず2つ存在するのでその両方を答える必要があります。

★ No.1さん

> これを(2)に代入して
> x^2+[m(x-1)+1]^2=1

のところで (x-2) が (x-1) に化けてしまっていますよ! 以降は、点(1, 1)から円に引いた接線の方程式ということになりますね。あと、y-1 = m(x-2) という表示を用いると垂直な接線に対応できないので、本来
　接線 y - p = m(x - q)
または
　接線 x = q
などとして、両者について場合分けして考える必要があります。点(1, 1)からの接線を考える場合は2つ目の接線が x = 1 の形になりますが、y - 1 = m(x - 2) だけしか考えていないために答えから欠落してしまっています。

★ 接線の方程式を用いる方法

No.1 さんの方針のように「y - 1 = m(x - 2) または x = 2」について考察して解くのが一番素直な方法だとは思いますが、(高校の頃の記憶が正しければ) この手の問題は
　円:x² + y² = R² の点 (a, b) (ただし a² + b² = R²) における接線が ax + by = R² と書ける
ということ(教科書に載っているはず)を使って解くことを意図しているのではないかと思います。

質問文の問題ならば:
----- 解答例(途中式は自分で埋めてみてくださいね) -----
円の(a,b) (a² + b² = 1) における
　接線: ax + by = 1
に (x, y) = (2, 1) を代入して、
　b = 1 - 2a. …(i)
これを a² + b² = 1 に代入して整理すると、
　5a² - 4a=0,
　a = 0, 4/5.
さらに (i) に代入すると a のそれぞれに対して
　b = 1, 3/5.
答え
　接線1: y = 1 @ 接点(a, b) = (0, 1),
　接線2: (4/5)x + (3/4)y=1 @ 接点(a, b) = (4/5, 3/5)■,
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お礼

分かりやすい回答ありがとうございました

回答No.1

bran111

点A（2,1）から円x^2+y^2=1に引いた接線Ｌの傾きをmとするとＬの方程式は

y-1=m(x-2)　　　　（1）

これが円Ｃ

x^2+y^2=1　　　　　（2）

に接するためには(1),(2)を連立してえられるxまたはyに関する方程式が重解を持てばよい。

(1)より

y=m(x-2)+1

これを(2)に代入して

x^2+[m(x-1)+1]^2=1

整理して

(m^2+1)x^2-2m(m-1)+m^2-2m=0

D/4=m^2(m-1)^2-(m^2+1)(m^2-2m)=2m=0

つまりm=0

(1)よりＬの方程式は

y=1　　　　　　（3）

これは実は絵を描いて着れば明らか

(3)を(2)に代入して

接点（0,1）