円外の点から円に引いた接線（難）

質問

円外の点から円に引いた接線（難）

円と直線の共有点の座標

１円x^2+y^2=50・・・・・Aと次の直線の共有点はあるか。あるときはその座標を求めよ

(1)y=-3x+20
y=-3x+20・・・・(1)をＡに代入するとx^2(-3x+20)^2=50
整理して x^2-12x+35=0
ゆえに (x-5)(x-7)=0
よってx=5,7
この求まったｘ＝５をＡに代入してｙについて解くと、ｙの値が２つでます。しかし、このどちらか一方は答えではありません。
なぜなら、円の図形の性質上、ｘ＝５を満たす点は２つあるから接線との交点じゃないほうの点も考えてしまうからでした。
ｘ＝７も同様です。
点Ｐ（ー５、１０）を通り、円x^2+y^2=25に接する直線の方程式を求めよ。

２接点をＱ（ｘ１，ｙ１）とするとｘ１＾２＋ｙ１＾２＝２５・・・・(1)
点Ｑにおける接線の方程式はx1x+y1y=25・・・・・(2)
この直線が点Ｐ（ー５、１０）を通るから-5x1+10y1=25
ゆえにx1=2y1-5・・・・(3) (1)に代入して(2y1-5)^2+y1^2=25
整理して y1^2-4y1=0 ゆえに y1=0,4
以下省略

しかし、２番目の問題も１番目のように(1)に代入すると答えにならない解２つでてきます。
ですが、今回はx,yという変数でなく定数です。ですから、１番目のように円を考えて解決することができません。

どうすれば(1)に代入すると答えにならない解が２つでてくることの理由を考えることができますか？？
（わかりずらい文章ですいません）

回答No.3

R_Earl · ベストアンサー

「直線の方程式に交点のx, y座標の片方を代入すると交点が求まるのに、
円の方程式に交点のx, y座標の片方を代入しても求まらないのはなぜか」
というのが質問内容でしょうか。

> しかし、２番目の問題も１番目のように(1)に代入すると答えにならない解２つでてきます。
> ですが、今回はx,yという変数でなく定数です。ですから、１番目のように円を考えて解決することができません。

全く同じ理由です。
(2)では円x^2 + y^2 = 25上に、y座標0となる点が2つ存在し、
y座標4となる点が2つ存在します。
なので交点の座標が定まりません。

というより、最初に
「２接点をＱ（ｘ１，ｙ１）とするとｘ１＾２＋ｙ１＾２＝２５・・・・(1) 」と
書いていますが、既にこの時点で解の候補がそれほど絞り切れていないんです。
1つの接点Qの座標を(x1, y1)とおくとx1^2 + y1^2 = 25を満たしますが、
Q以外の点(-x1, y1), (x1, -y1), (-x1, -y1)も同様の条件
x1^2 + y1^2 = 25を満たしてしまいます。
つまり(1)の式は、最初から1つの交点につき3つの余分な候補がついてまわっているんです。

交点のy座標の値だけ(またはx座標の値だけ)が確定すると
3つの余分な候補のうち、2つが消えてくれます(y座標が-y1の候補が消える)。
しかし未だに1つ余分な候補(y座標がy1だけどx座標が-x1の点)が残ってしまいます。

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

なぜ「直線の方程式」に代入しないのですか？

y=-3x+20・・・・(1)の問題にしても、
x1x+y1y=25・・・・・(2)の問題にしても
求まった xや y1を直線の方程式に代入すればいいだけだと思うのですが。

もともと、これらの直線と円との交点を求めているので、直線の方程式も満たされるはずですよね。
（実際、直線の方程式から求まった式を代入していますね）
円の方程式で求めようとするから、余計な答えが出てきているだけだと思います。

回答No.1

noname#116057

(1)(2)ともxの解を直線の方程式に代入するのが正しい。円と直線の共有点は2個，1個，0個のいずれか。