接線の方程式についてy

質問

接線の方程式について
y=x^3-3xのx=-4で交わり、他の点で接する接線の方程式を求めよ。

という問題なのですが、微分を使わないで説く方法として
接点のx座標をaとし、接線の方程式をy=px+qとおく。すると、与えられた曲線と接線の交点を求める方程式は、

x^3-3x-(px+q)=0

(x+4)(x-a)^2

となるのですが、この(x+4)(x-a)^2の式が
何故こうなるのかがわかりません。

(x+4)^2(x-a)では、いけないのでしょうか？

詳しく教えて頂けたら幸いです。

回答No.1

dephands · ベストアンサー

たとえば、y=x+4と、y=(x+4)^2を考えてみましょう。
前者は直線ｙ=0と、x=-4で「交わり」ます。後者はx=-4で、「接して」います。

簡単な例を挙げましたが、接するためには重解を持たなくてはいけません。今の場合は、３次関数がaで接するため、(x-a)が重解になっていなければならないので、(x+4)(x+a)^2の形に一意に決まるわけです。