微分

質問

２つの曲線y=x^2,y=-(x-2)^2の共通接線を求めよ
という問題なのですが解説に疑問があったので質問しました。
解説ではy=x^2の接点を（α、α^2）とおきy=-(x-2)^2の接点を（β、-(β-2)^2）おいて接線の式をつくり、恒等式として解くように書かれていたのですが、何故、接点のx座標をαかβに統一すると解けないんでしょうか？実際、私はどちらもαとして解いたのですが方程式は解けませんでした。
わかる方教えてください！

回答No.1

Landolt · ベストアンサー

結論としては統一してはいけません。

この問題を解くにあたって、接線の方程式を
y = f'(a) * (x - a) + f(a)
の公式を用いたと思われます。
しかし、この公式は曲線 y = f(x) の上の１点
(a,f(a)) で接しているという仮定の下に成り立っています。
共通接線がそれぞれ違う点で接しているので、この統一することはできません。

もう少し具体的に見てみましょう。
直線 y = 0 は明らかに共通接線になっています。
（解説があるようなのでこのことについては触れません）
曲線 y = x^2 はこの直線と点 (0,0) で、
曲線 y = -(x-2)^2 はこの直線と点 (2,0) で接しています。
つまり共通接線に対して接点が違うのです。
このことは例えば次の弊害を起こします。
まず、点 (0,0) は曲線 y = -(x-2)^2 の上にありません。
よって、x座標を統一してしまうとその時点で矛盾を起こしてしまいます。
次にx座標が0の時に、２曲線の傾きが違います。
よってこれもこの時点で矛盾です。

大切なことは、接線の公式は接点がわかっていないといけないということです。
わからなければ適当に変数をおけばうまくいきますが、
もし接点が同じでないなら、変数も変えなければいけません。

お礼

なるほど！必ずしも２直線は接しているとは限りませんよね！接線と読んですぐに接点があると思ってしまったんです。わかりやすい回答ありがとうございました！

補足

＞大切なことは、接線の公式は接点がわかっていないといけないということです。
教科書にのっている公式では
y-f(a)=f(a)´(x-a)・・(1)とあるのですが似たような公式が直線を求める方程式にもありますよね？
（x1,y1)を通り傾きがmの直線は
y-y1=m(x-x1)となる公式です。
これは(1)と関係があるのでしょうか？
自分でも計算してみたのですが(1)式では直線を通るただの点では計算ができないようです。
あまり関係がないのでしょうか？
追加してしまってお手数かけますがよろしければ教えてください！

回答No.3

orangeapple55

共通接線は接線が共通なのであって、接点が共通ということではないんだと思います。
接点が共通ではないかもしれないので、２つの接点のＸ座標を統一して考えるとダメなんです。

蛇足ですが。

お礼

接点が同じである場合もせってんが異なる場合もあるので同じ数字におけないということですね。わかりやすい回答ありがとうございました！

回答No.2

noname#17965

２つの曲線の共通接線を引いた時、接点の座標は一致しません。別々の点になります。だからαで統一することが出来ません。

実際に図に書いて考えて下さい。２本の曲線は交点がありませんよね。交点が無いので共通接線の接点はそれぞれ別の点になります。

お礼

実際に連立方程式で解いてみましたが、おっしゃる通り接点、交点はありませんでした。共通接線の接点はそれぞれ別の点にあるとうことですね。わかりやすい回答をありがとうございました！