数IIの円と方程式の問題で分からないところが・・

質問

数IIの円と方程式の問題で分からないところが・・２問ほどあります。
アドバイスだけでいいので、教えてもらえると非常にありがたいです。

１問目：円(x-1)^2+(y-2)^2=25上の点(4,6）における接線の方程式を求めよ。

この問題の解き方がさっぱり分かりません^^;
x1*x+y1*y=r^2　という公式は、x^2+y^2=r^2のときしか使えないですよね？

答えは3x+4y-36=0とあります；

２問目：点Ａ(2,4)から円x^2+y^2=10に引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ。

この問題もさっぱり分かりません^^;
答えは3x+y=10,(3,1)
-x+3y=10,(-1,3)とあります；

回答No.8

Duke_Mike · ベストアンサー

むぅ～。
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解き方１：中学の延長
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式でごり押しするよりも、図形と組み合わせて考えた方がシンプルだと思うのです。
「接線は、中心から接点に引いた線と垂直に交わる。」これです。

この円の中心は(1,2)ですね。微分する点は(4,6)なので、
中心を通って、この点を通る直線の傾きを考えると、
(6-2)/(4-1)=4/3ですね。だからこれと垂直に交わる直線の傾きは、
-3/4ですね。傾きが-3/4で(4,6)を通る直線と考えれば、うまくいく。
y-6=(-3/4)(x-4)⇒答えとなります。
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解き方２：ベクトルを使ったやりかた。
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ベクトルの考え方を使ってみてはいかがでしょうか？
接線上のベクトルをS(x,y)とします。
中心の点をO'(1,2)として、A(4,6)とします。
O'A⊥ASなのでO'A・AS=0という条件を満たします。
O'A=(4-1,6-2)=(3,4)
AS=(x-4,y-6)
と表せる。
O'A・AS＝(3(x-4)+4(y-6))→答え

他にも色々と考え方があります。式的に解くというのも大事ですが、
どうすれば楽になるのかを考えるのがベストだと思います。
ではではぁ～（・∀・）ノ

お礼

回答ありがとうございます。
お礼遅れて申し訳ありません、風邪を引いてしまい・・。
現在も微熱があり喉が腫れてます＞＜

＞図形
なるほど。確かに分かりやすいです^^

＞ベクトル
ベクトルはまだ習っていない単元なので、教科書読んでベクトルというものを理解します^^;

回答件数９件とあるはずなのに、数えてみたら８件・・。
バグでしょうか？^^;

回答No.7

Meowth

x1*x+y1*y=r^2　という公式は、x^2+y^2=r^2のときしか使えないですよね？
(x-1)^2+(y-2)^2=25
から
(X1-1)(x-X1)+(Y1-2)(y-Y1)=0
変形して　(X1-1)^2+(Y1-2)^2=25 1を考慮すると、
(X1-1)(x-1)+(Y1-2)(y-2)-(X1-1)(X1-1)-(Y1-2)(Y1-2)=0
(X1-1)(x-1)+(Y1-2)(y-2)=(X1-1)(X1-1)+(Y1-2)(Y1-2)
(X1-1)(x-1)+(Y1-2)(y-2)=25
X2,Y2)=（X1-１,Y1-2)が成り立つ。x1*x+y1*y=r^2　という公式の拡張。これを覚えておけばいい。
（というか導けばいい）
X1=4,Y1=6とすれば、
(4-1)(x-1)+(6-2)(y-2)=25
整理して、
3x+4y-36=0

最初の式
(X1-1)(x-X1)+(Y1-2)(y-Y1)=0
は微分から出せば簡単にでる。
(x-1)^2+(y-2)^2=25
を微分すれば、
2(x-1)dx+2(y-2)dy=0
(x-1)dx+(y-2)dy=0
（高校流だと(x-1)+(y-2)dy/dx=0 か）
x-1　→　X1-1
y-2 →　Y1-1
dx→x-X1　dy→y－Y1　　
（高校流だとdy/dx=-(x-1)/(y-2) か）
に置き換えれば接線の式になる。
陰関数の微分がいやなら、
平行移動か判別式でだすことになる。
（平行移動）
もともとの(x-1)^2+(y-2)^2=25はx^2+y^2=r^2を（１，２）だけ移動したものだから、（X1,Y1)はx^2+y^2=r^2上のX2,Y2)=（X1-１,Y1-2)にあったもの、
そこでの接線は、
x2*x+y2*y=25
だから、それを平行移動すればいい。
(X2,Y2)=（X1-１,Y1-2)　（x,y)→((x-1),(y-2))
を代入して、
(X1-1)(x-X1)+(Y1-2)(y-Y1)=0

お礼

回答ありがとうございます。
お礼遅れて申し訳ありません、風邪を引いてしまい・・。
現在も微熱があり喉が腫れてます＞＜

＞微分
まだ習っていない単元なので、全くわかりません^^;
とりあえず教科書を読んで微分というものを理解します。

＞平行移動
なるほど！納得です^^　コレは分かりやすいですね

回答No.6

take_5

＞接線の方程式をy-6=m(x-4)と置いて

接線の方程式をいきなり、y-6=m(x-4)と置くのは正しくない。
その方程式では、x軸に垂直なものはあらわせない。
したがって、そのような接線が無いことを確認した上でないと、そのようには置けない。
正しく説明するように。

お礼

回答ありがとうございます。
お礼遅れて申し訳ありません、風邪を引いてしまい・・。
現在も微熱があり喉が腫れてます＞＜

な、なるほど・・。

回答No.5

yhposolihp

>>[ (x-1)^2]+[ (y-2)^2]=25、・・・Ａ
>>円上の点(4,6）

（解１）判別式
　接線の方程式をy-6=m(x-4)と置いて、・・・Ｂ
　y={m(x-4)+6}→y=mx+(6-4m)

　Ａに代入して、
　[ (x-1)^2]+[mx+(6-4m)-2]^2=25
　[ (x-1)^2]+[mx+(4-4m)]^2=25
(x^2)-2x+1+(m^2)(x^2)+8m(1-m)x+16{(1-m)^2}-25=0
[1+(m^2)](x^2)+[8m(1-m)-2]x+[16{(1-m)^2}-24]=0
　　　D/4=0
[4m(1-m)-1]^2-[1+(m^2)][16{(1-m)^2}-24]=0
16(m^2){(1-m)^2}-8m(1-m)+1-16{(1-m)^2}-16(m^2){(1-m)^2}+24{1+(m^2)}=0
　　　　　-8m(1-m)+1-16{(1-m)^2}+24{1+(m^2)}=0
-8m+8(m^2)+1-16+32m-16(m^2)+24+24(m^2)=0
16(m^2)+24m+9=0→(4m+3)^2=0・・・Ｄ
　　　m=(-3/4),これをＢに戻して代入すると、
　y-6=(-3/4)(x-4)→4y-24=-3x+12→3x+4y=36　。

（解２）法線
接線の方程式をy-6=m(x-4)と置いて、・・・Ｂ
円の中心Ｃ(1,2)と接点Ｐ(4,6)を結ぶ直線を考えます。
　直線ＣＰの傾きは(6-2)/(4-1)=(4/3)
　直線ＣＰと求める接線は直交するので、
２直線の直交条件より、m(4/3)=-1、m=(-3/4)
　Ｂ代入して、3x+4y=36　。

（解３）点と直線の距離の公式
接線y-6=m(x-4)と円の中心Ｃ(1,2)の距離は円の半径５に一致します。
mx-y+(6-4m)=0と変形しておいて、
　　　　｜m-2+6-4m|/√5=5
　　｜4-3m|/√[1+(m^2)]=5
　16-24m+9(m^2)=25+25(m^2)
0=16(m^2)+24m+9→(4m+3)^2=0、
　　　　Ｄに一致して順に3x+4y=36まで辿り着きます。

（解４）一般形の円の接線の公式を導く。
>>x^2+y^2=r^2,・・・Ｅ
>>x1*x+y1*y=r^2・・・Ｆ
円x^2+y^2=r^2をx軸の方向a、y軸方向にb 平行移動すると、

新座標（X、Y）,（X1、Y1)と旧座標（x,y）,(x1,y1)の変換式は、
　　　　X=x+a→x=X-a
　　　　Y=y+b→y=Y-b
　　　X1=x1+a→x1=X1-a
　　　Y1=y1+b→y1=Y1-b
　　　　　これらを、Ｅ,Ｆに代入して
　　(X-a)^2+(Y-b)^2=r^2
　　(X1-a)(X-a)+(Y1-b)(Y-b)=r^2
約束に従って、Largeをsmallに書き直して、公式となります。
　　　(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
　　(x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b)=r^2・・・（接線の公式）
　　　　　この問題に適用すると、
　　　　　(x-1)^2+(y-2)^2=25
　　　　(4-1)(x-1)+(6-2)(y-2)=25
　　　　3x-3+4y-8=25→3x+4y=36
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後半は、

>>点Ａ(2,4)
>>円x^2+y^2=10

（解１）判別式
前半と重複するので、日本語が減ります。

　　y-4=m(x-2)→y={mx+(4-2m)}
　　(x^2)+{mx+(4-2m)}^2=10
(x^2)+(m^2)(x^2)+4m(2-m)x+4{(2-m)^2}-10=0
[1+(m^2)](x^2)+[4m(2-m)]x+[4{(2-m)^2}-10]=0・・・Ｇ
　　　　　　D/4=0
4[{(m^2)}{(2-m)^2}]-[1+(m^2)][4{(2-m)^2}-10]=0
　　　-[4{(2-m)^2}-10]+10(m^2)=0
　　　-[2{(2-m)^2}-5]+5(m^2)=0
　　-8+8m-2(m^2)+5+5(m^2)=0
3(m^2)+8m-3=0→(3m-1)(m+3)=0→m=(1/3),-3・・・Ｈ
　　　　　y-4=m(x-2)にあてはめて、Ｇより、
y-4=(1/3)(x-2)→3(y-4)=(x-2)→-x+3y=10
　　x=-[4m(2-m)]/2[1+(m^2)]=-[2m(2-m)]/[1+(m^2)]
　　　=-[(2/3)(5/3)]/(10/9)=-1→接点(-1,3)
y-4=-3(x-2)→3x+y=10、Ｇより、
　　x=-[2m(2-m)]/[1+(m^2)]=-[(-6)*5]/10=3→接点(3,1)

（解３）原点と直線の距離の公式
　　y-4=m(x-2)→mx-y+(4-2m)=0
　　　　|4-2m|/√[1+(m^2)]=√10
　　16-16m+4(m^2)=10+10(m^2)
　0=6(m^2)+16m-6→3(m^2)+8m-3 とＨと同じになります。
接点は、円の式と直線の式を連立させれば・・・割愛します。

（解４）公式
　この問題では、接点がふたつあるので、
>>x^2+y^2=10・・・Ｅ
>>x1*x+y1*y=10・・・Ｆ
>>x2*x+y1*y=10・・・Ｆ'
　ＦとＦ'は共に点Ａ(2,4)をとおり、
2x+4y=10　→ x+2y=5→x=5-2y　（割線の式）と呼ばれますが・・・。
　　(5-2y)^2 +y^2=10
　　25-20y+4(y^2)+(y^2)-10=0　　　　　　　　　　　
5(y^2)-20y+15=0→(y^2)-4y+3=0→(y-3)(y-1)=0
　　　接点は、(-1,3),(3,1)
　　　最後に、点Ａ(2,4)を使えば接線の式が出て終了です。

お礼

回答ありがとうございます。
お礼遅れて申し訳ありません、風邪を引いてしまい・・。
現在も微熱があり喉が腫れてます＞＜

本当に解き方が何通りもあるんですね^^;
できるだけどの方法でもできるように練習します！^^

回答No.4

debut

1.
接線と半径は垂直です。
中心(1,2)から点(4,6)の傾きは4/3なので、直線の垂直条件
と(4,6)を通ることから求められます。

それから、(x-a)^2+(y-b)^2=r^2上の点(p,q)における接線の
公式もありますよ。
(p-a)(x-a)+(q-b)(y-b)=r^2　です。

2.
接点を(x1,y1)とすればx1^2+y1^2=10です。
また、x1*x+y1*y=r^2の公式で作った接線が点(2,4)を通ること
からx1,y1の連立方程式ができます。

お礼

回答ありがとうございます。
お礼遅れて申し訳ありません、風邪を引いてしまい・・。
現在も微熱があり喉が腫れてます＞＜

＞接線と半径は垂直です。
＞中心(1,2)から点(4,6)の傾きは4/3なので、直線の垂直条件と(4,6)を通ることから求められます。
その方法やったのですが計算ミスをしてしまい断念してました^^;
それでよかったんですね、もう１回解きなおしてみます。

回答No.3

postro

アドバイス
円(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 上の点(p,q）における接線の方程式は
(p-a)(x-a)+(q-b)(y-b)=r^2

円x^2+y^2=10上の点(p,q)での接線の方程式は
px+qy=10 これが点Ａ(2,4)を通るので
2p+4q=10
また、p^2+q^2=10

お礼

回答ありがとうございます。
お礼遅れて申し訳ありません、風邪を引いてしまい・・。
現在も微熱があり喉が腫れてます＞＜

＞円(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 上の点(p,q）における接線の方程式は
＞(p-a)(x-a)+(q-b)(y-b)=r^2
どの参考書を見てもそのような公式が載っていませんでした^^;
なるほど、その公式覚えます。

＞2p+4q=10
＞また、p^2+q^2=10
これで連立方程式を作る、ということですよね^^　やってみます

回答No.2

take_5

判別式を使っても良いが計算が面倒だろうから、ヘッセの公式（点と直線との距離の公式）を使うのが一番簡単でしょう。

ヘッセの公式って、教科書で習ってないのかな？

お礼

回答ありがとうございます。
お礼遅れて申し訳ありません、風邪を引いてしまい・・。
現在も微熱があり喉が腫れてます＞＜

＞ヘッセの公式
初耳です。なんですかそれ^^;
ちょっと調べてみます。

回答No.1

noname#69788

微分をつかって解く方法もあるのですが、数IIなので省略します。
１問目
円の方程式とy=ax+bを連立させて重解をもつように、a,bを定めます。
２問目も同じような方法で解けると思います。与えられている点の座標を有効利用してください。

お礼

回答ありがとうございます。
お礼遅れて申し訳ありません、風邪を引いてしまい・・。
現在も微熱があり喉が腫れてます＞＜

＞微分をつかって解く方法
微分って数IIの最後のほうに習うやつですよね^^;
微分や積分の内容は全く分からないので、ちょっと教科書読んで勉強してみます。
（なんだか難しそう・・）

＞円の方程式とy=ax+bを連立させて重解をもつように、a,bを定めます。
なんで気づかなかったんだろう^^;　単純にそうやればよかったのか・・