点(7,1)を通り、円x^2+y^2=25に接する

質問

点(7,1)を通り、円x^2+y^2=25に接する直線は、(ア)x+(イ)y=25、(ウ)x-(エ)y=25となり、接点の座標はx座標の小さい方からそれぞれ(オ)、(カ)である。
また、この2つの接点 と点(7,1)を通る円の方程式は(x-□)^2+(y-□)^2=□である。

この問題教えてください！

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

＞点(7,1)を通り、円x^2+y^2=25に接する直線をax+by=25とおくと、
点(7,1)を通ることから7a+b=25・・・・・(1)
円x^2+y^2=25に接するということは、x^2+y^2=25とax+by=25との
連立方程式の解が重根となる必要があるので、
x=25/a-(b/a)y、x^2=(25/a)^2-(50b/a^2)y+(b/a)^2y^2を代入して
(25/a)^2-(50b/a^2)y+(b/a)^2y^2+y^2=25、両辺にa^2をかけて
(b^2+a^2)y^2-50by+25^2-25a^2=0・・・・・(2)、根の判別式=0として
(50b)^2-4(b^2+a^2)(25^2-25a^2)=0、整理してa^2b^2-25a^2+a^4=0
(1)からb=25-7a・・・・・(1')、b^2=625-350a+49a^2を代入、整理
a^2(a^2-7a+12)=0、a^2(a-3)(a-4)=0、よってa=3,4
(1')に代入、a=3のときb=25-7a=25-21=4、a=4のときb=25-28=-3
以上から(ア=3)x+(イ=4)y=25、(ウ=4)x-(エ=3)y=25・・・答
a=3、b=4を(2)に代入、yを求めるとy=4、3x+4y=25からx=3
よって接点の一つは(3,4)
a=4、b=-3を(2)に代入、yを求めるとy=-3、4x-3y=25からx=4
よってもう一つ接点は(4,-3)
接点の座標は
x座標の小さい方からそれぞれ(オ=(3,4))、(カ=(4,-3))・・・答
この2つの接点 と点(7,1)を通る円の方程式を(x-c)^2+(y-d)^2=r
とおくと、
(3-c)^2+(4-d)^2=r、(4-c)^2+(-3-d)^2=r、(7-c)^2+(1-d)^2=rを
連立で解いてc、d、rを求めるとc=7/2、d=1/2、r=25/2となるので
円の方程式は(x-7/2)^2+(y-1/2)^2=25/2・・・答

回答No.1

noname#220943

宿題は自分で考えてやりましょう。