複素平面

質問

3√ (-8)を複素平面上で図示せよという問題なのですが
どなたか解法を教えてください。上の数値は三乗根(-8)です。分かりにくくてすみません。

回答No.3

staratras · ベストアンサー

求める数をzとする。z^3=-8 だから　z^3+8=0
(z+2)(z^2-2z+4)=0

z+2=0 より　z=-2　すなわち　z=2(cosπ+isinπ）
z^2-2z+4=0 より　z=(1±√3i)
すなわち　z=2(cosπ/3+isinπ/3）、z=2(cos5π/3+isin5π/3）　　　　　

複素平面上に図示すれば下の通り。

なお結果の見当をつけるだけでよければ、
複素数の範囲でz^3=-8 を満たすzの値は3つあり
このうち一つの値（実数値）がz=-2であることは明らか。
他のzの2つの値もすべて複素平面上で半径2の円周上にあり、
かつ円周を3等分するから下の図となることは明らか。

回答No.8

Water_5

-8＝（－２）＾３
故にー２

－８＝（1+i√3）＾３
故に1+i√3

－８＝（1-i√3）＾３
故に1-i√3

こんなもんでどうじゃろかの。

回答No.7

Water_5

３乗は３回回してではない。
(1/3）＾３＝１で1回回して・・・。」になる。

回答No.6

yyssaa

＞No.1です。以下の通り訂正します。
虚数単位をi(i^2=-1)とすると
(-8)^(1/3)={i^2*2^3}^(1/3)=i^(2/3)*2^(3/3)=2*i^(2/3)
nを整数とするとオイラーの公式でe^{(1/2+2n)πi}
=cos{(1/2+2n)π}+isin{(1/2+2n)π}=iだから
(ア)n=0のときi=e^(πi/2)
i^(2/3)={e^(πi/2)}^(2/3)=e^(πi/3)
よって(-8)^(1/3)=2e^(πi/3)=2cos(π/3)+2isin(π/3)
=2*(1/2)+2i*√3/2=1+√3i・・・・・(1)
(イ)n=1のときi=e^{(1/2+2)πi}=e^(5πi/2)
i^(2/3)={e^(5πi/2)}^(2/3)=e^(5πi/3)
よって(-8)^(1/3)=2e^(5πi/3)=2cos(5π/3)+2isin(5π/3)
=2*(1/2)-2i*√3/2=1-√3i・・・・・(2)
(ウ)n=2のときi=e^{(1/2+4)πi}=e^(9πi/2)
i^(2/3)={e^(9πi/2)}^(2/3)=e^(3πi)
よって(-8)^(1/3)=2e^(3πi)=2cos(3π)+2isin(3π)
=-2+0i・・・・・(3)
(エ)n=0,1,2以外の整数のとき(-8)^(1/3)は、(1)(2)(3)の
いずれかとなる。
以上から複素平面上に(1)(2)(3)の3点を図示する。

回答No.5

bran111

#2です。最後が記述がおかしかったので書き直します。

＞3乗、すなわち３回回してみれば3√ (-8)に一致する。

⇒3乗、すなわち３回回して2^3=8倍すれば-8に一致する。

この部分、無視しても構いません。

回答No.4

info222_

[3√] (-8)=(8^(1/3))(-1)^(1/3)
=2e^((2n-1)πi/3) (n=1,2,3)
=2e^(πi/3), 2e^(πi), 2e^(5πi/3)
=1+i√3, -2, 1-i√3
(答)　-2, 1±i√3
この３点を図示すればよい。

回答No.2

bran111

3√ (-8)=re^(iθ)と置くと

-8=r^3e^(3iθ)

これは

r=2, e^(3iθ)=-1

によって満たされる。

e^(3iθ)=-1=e^[i(π+2nπ)]

θ=(π+2nπ)/3=(1+2n)π/3

nは整数であって、n=0,1,....(3-1)=0,1,2

θ=π/3,π,5π/3

3√ (-8)は複素平面上において半径2の円上で偏角がπ/3,π,5π/3の３点である。

3乗、すなわち３回回してみれば3√ (-8)に一致する。

回答No.1

yyssaa

＞虚数単位をi(i^2=-1)とすると
(-8)^(1/3)={i^2*2^3}^(1/3)=i^(2/3)*2^(3/3)=2*i^(2/3)
オイラーの公式でe^(iπ/2)=cos(π/2)+isin(π/2)=iだから
i^(2/3)={e^(iπ/2)}^(2/3)=e^(iπ/3)
よって(-8)^(1/3)=2e^(iπ/3)=2cos(π/3)+2isin(π/3)
=2*(1/2)+2i*√3/2=1+√3i
すなわち三乗根(-8)は実軸が1で虚軸が√3の点になる。