複素平面上に集合を図示する問題

質問

複素平面上に集合を図示する問題で、

｛ z : |z+i|＜2|z-i| ｝

の図示の仕方が解答を見ても分かりません。
説明をして頂きたいので、よろしくお願いします。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

z=a+ibとすると、z+i=a+i(b+1)
|z+i|=√{a^2+(b+1)^2}
z-i=a+i(b-1)
|z-i|=√{a^2+(b-1)^2}
従って|z+i|＜2|z-i|を満たすzの集合は、
√{a^2+(b+1)^2}＜2*√{a^2+(b-1)^2}から
a^2+(b+1)^2＜4{a^2+(b-1)^2}
a^2+b^2+2b+1＜4(a^2+b^2-2b+1)=4a^2+4b^2-8b+4
整理して
0＜3a^2+3b^2-10b+3
0＜a^2+b^2-(10/3)b+1=a^2+(b-5/3)^2+1-25/9
=a^2+(b-5/3)^2-16/9=a^2+(b-5/3)^2-(4/3)^2
書き直すとa^2+(b-5/3)^2＞(4/3)^2
従って｛ z : |z+i|＜2|z-i| ｝の集合は、
複素平面上の実軸a、虚軸bの直交座標系で、
点(0,5/3)を中心とする半径4/3の円の外側
ということになります。

お礼

複雑な計算を書いて頂いてありがとうございます。
とても分かりやすかったです。

回答No.3

kabaokaba

No.1です

激しく引き算間違ってた

-iとiを内分する点は (1/3)i
-iとiを外分する点は 3i
この二点を直径の両端にする円は
中心 (5/3)i 半径 4/3

求める領域は，その円の外側

申し訳ない．

この手の問題だが，
まず = の場合を考えれば境界がわかる

|z+i| = 2 |z-i|

これを
|z+i| : |z-i| = 2 : 1
とみなせば，これは
(zと-iの距離) : (zとiの距離) = 2 : 1
となる．

これはアポロニウスの円というもので（数Aとかで習ってる？）
外分する点と内分する点を直径の両端とする円を描く．

そして，円なので自己交差はしないので
平面そのものが，
円周・内側・外側に分かれる．
だから，例えば z=100iのような極端な値をいれて
|z+i| = 101
2|z-i| = 198
と計算すると，z=100iは求める領域の点だということがわかって
z=100iは明らかに「円周」の外側

ということで，求める領域がわかるというわけ．

複素平面で領域を考えるときは，
幾何的な意味合いを考えると計算がすくなくすむ．

お礼

失礼な質問の仕方をしてしまってすみません。
計算から求めようとしていたので、アポロニウスの円のように幾何的に考えるという発想がなく、とても参考になりました。
ありがとうございます。

回答No.1

kabaokaba

その「分からない解答」の何が分からないのか
ほかの人にはわからんでしょうに．

まったくゼロからほかの解答をしりたいの？

とりあえず，簡単に．

アポロニウスの円を考えて
iと-iを内分する点(2/3)iと
外分する点3iを直径の両端とする円（つまり，(11/6)iが中心，半径7/6の円）
内部（境界を含まない）が
求める領域

ってところかな．