ｎ乗根を複素平面で視覚的に解けないか？

質問

１の平方根は±１で複素平面上で０を中心に１８０度角をなしています。
１の３乗根も１と（１±√３）／２
で綺麗に１２０度になってます。
１の４乗根も　±１と±ｉでそれぞれ９０度の角をなしてるんですね。

－１の平方根も±ｉで１８０度なんですね。

ｉの平方根はｘ軸と４５度の角をなした線の上に１８０度の角を
なして　（２＋√２ｉ）/２と（－２－√２ｉ）／２
ですかね。

±１と±ｉの　ｎ乗根には何か複素平面上で規則がありそうですが、
なんか定理とか公式みたいなものってあるんでしたっけ。

回答No.4

noname#101087 · ベストアンサー

>ｎ乗根を複素平面で視覚的に解けないか？

まず、「複素数Zのn乗根」を複素平面上で考えるための基本概念から。

(1) Zの指数関数表示
　Z=|Z|exp(iθ)
　ただし、|Z|はZの絶対値、θはZの偏角。

(2) オイラーの公式
　exp(iθ)=cos(θ)+isin(θ)
これに指数法則を適用してm乗する(ド・モアブルの公式)と
　{exp(iθ)}^m=exp(imθ)
になる。

(3) Zのn乗根は、Zの指数関数表示を使えば
　Z^(1/n)={|Z|^(1/n)}*exp(iθ/n)
　つまり、絶対値はn乗根、偏角はn分の1、ということ。

±1や±iの絶対値は1ですから、以上の操作を使えば複素平面上での作図ができそうですね。

お礼

なるほど　イメージできました。ありがとうございます。

回答No.5

proto

n乗根は1/n乗のことですよね、だからド・モアブルの定理
　　(sinθ + i*cosθ)^k = sin(kθ) + i*cos(kθ)
をk=1/nのときに適応してみましょう。
本当は反則ですが、試しにやってみることは大切です。

お礼

回答ありがとうございます。なるほど。

回答No.3

noname#26313

±1は、exp(i・2π)とexp(i・π)
±iは、exp(±i・π/2)ですね。
従って、n乗根は、
±1の方は、exp(i・2π/n)とexp(i・π/n)
±iの方は、exp(±i・π/2n)です。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.2

zk43

z^n=1で、とりあえずzの絶対値は１なので、極座標でz=e^(iθ)
とします。
すると、
e^(inθ)＝1＝e^(2kπi)
（ここにkは整数）
nθ＝2kπ
θ＝2kπ/n
k=0,1,2,・・・,n-1
（k=nまでくるともとの点に戻るので、異なるのはこのｎ個の場合。）
なので、１のｎ乗根は単位円周を１を含んだｎ等分する点で、正ｎ
角形を描くことになる。

お礼

なるほど。イメージできました。

回答No.1

10ken16

極座標・偏角で検索してみては？

あるいは「オイラーの贈物」
という書籍を読んでみれば、
疑問がすっきりすると思います。

お礼

オイラーの贈り物　よんでみますよ。ありがとうございます。