(1)ｘ＾３－１＝０の解を求め複素平面上に書け。

質問

(1)ｘ＾３－１＝０の解を求め複素平面上に書け。
(2)ｘ＾４－１＝０の解を求め複素平面上に書け。
(3)ｘ＾ｎ－１＝０（ｎ：整数＞０）の解はどうなるか説明せよ。

どうやって解いたらいいのか，また複素平面上にはどうやって書いたらよいのか分からないので教えてください。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

複素平面の横軸をｙ、縦軸をｚと置いて、
ｘ　＝　ｙ　＋　ｉｚ
ｙ　＝　ｒcosθ
ｚ　＝　ｒsinθ
ｘ　＝　ｙ　＋　ｉｚ　＝　ｒ（cosθ　＋　ｉsinθ）　＝　ｒｅ^(iθ)

一般に、ｅ^(i×実数)　の絶対値は１なので、ｒ＝１　とすればつじつまが合います。
ｘ　＝　ｅ^(iθ)
ｘ　＝　cosθ　＋　ｉsinθ

まず、θ＝０　としてみると　ｘ＝１　となるので、正解。
ｘは周期が２πの周期関数ですから、
３乗したときに１になるということは、ｅ^(i(2nπ/3))
θ＝２ｎπ／３　のときのｘが答え（三乗根）です。

ｎ＝０　のとき　ｘ　＝　cos０　＋　ｉsin０
　⇒　ｙ座標はcos０、ｚ座標はsin０

ｎ＝１　のとき　ｘ　＝　cos（２π／３）　＋　ｉsin（２π／３）
　⇒　ｙ座標はcos（２π／３）、ｚ座標はsin（２π／３）

ｎ＝２　のとき　ｘ　＝　cos（４π／３）　＋　ｉsin（４π／３）
　⇒　ｙ座標はcos（４π／３）、ｚ座標はsin（４π／３）

以降、ｎ＝３，４，５，６・・・は、上記のｎ＝０，１，２のどれかと同じになります。
３点を結ぶとわかりますが、点（１，０）を頂点の一つとした正三角形になります。

（２）も同様です。点（１，０）を頂点の一つとした正方形になります。

（３）も同様です。点（１，０）を頂点の一つとした正ｎ角形になります。

以下は、過去に私が投稿した文章より。
-------------

・１の２乗根は、ｅ^(2πi・0/2)、ｅ^(2πi・1/2)
・１の３乗根は、ｅ^(2πi・0/3)、ｅ^(2πi・1/3)、ｅ^(2πi・2/3)
・１の４乗根は、ｅ^(2πi・0/4)、ｅ^(2πi・1/4)、ｅ^(2πi・2/4)、ｅ^(2πi・3/4)

それぞれ計算すると、
（半径１の円を描けば、図解でも求まりますが）
・１の２乗根は、１、　－１
・１の３乗根は、１、　（－１ ＋ √３・ｉ）／２、　（－１ － √３・ｉ）／２
・１の４乗根は、１、　ｉ、　－１、　－ｉ

http://okwave.jp/qa/q4617234.html

お礼

ありがとうございます。大変丁寧に答えてくださり，参考資料も教えてくださり，勉強になりました。

回答No.1

info22_

解は複素平面に単位円を描いて、その円周上に等間隔に並んで配置されます。
(1)
単位円を描くと解はx=e^(i2kπ/3),(k=0,±1)となります。
つまり、x=1,-(1±√3)/2　複素平面で単位円周上の３等分点になります。

(2)
単位円を描くと解はx=e^(i2kπ/4)=e^(ikπ/2),(k=0,±1,2)となります。
つまり、x=±1,±i　複素平面で単位円周上の４等分点になります。

(3)
単位円を描くと解はx=e^(i2kπ/n),(k=0,1,...,n-1)となります。
つまり、x=1(=1+i0)を含む　複素平面で単位円周上のn等分点になります。

後は自分でじっくり考えて取り組んで下さい。

お礼

ありがとうございます。複素平面だんだん分かってきました。