複素関数論 3乗根etc

質問

複素関数論 3乗根etc

今編入の受験で
困っております。

-4の4乗根をすべて求めよ。
8iの3乗根をすべて求めよ。

という問題を
教えてください。

よろしくお願いします。

回答No.3

alice_44

-4 の 4 乗根をすべて求めよ。
これは、x^4 = -4 となる x をすべて求めよ ということです。
x^4 + 4 = 0 の左辺を因数分解すると…
x^4 + 4 = (x^4 + 4x^2 + 4) - 4x^2
　　　　= (x^2 + 2)^2 - (2x)^2
　　　　= (x^2 + 2 + 2x)(x^2 + 2 - 2x)
あとは、二次方程式の解公式を使って、
x = -1±i,　1±i。

8i の 3 乗根をすべて求めよ。
これは、x^3 = 8i となる x をすべて求めよ ということです。
x^3 - 8i = 0 を因数分解するに当たって、(2i)^3 = -8i に気がつけば、
x^3 - 8i = x^3 + (2i)^3
　　　　= (x + 2i){ x^2 - x(2i) + (2i)^2 }
ここでも、二次方程式の解公式を使って、
x = -2i,　i±√3。

回答No.2

info22_

>-4の4乗根をすべて求めよ。
-4=4e^(iπ)=4e^(iπ+i2nπ), nは任意整数
-4の4乗根=4^(1/4)e^(iπ/4+inπ/2) (n=0,1,-1,2)
=(√2)e^(iπ/4),(√2)e^(i3π/4),(√2)e^(-iπ/4),(√2)e^(i5π/4)
単位円を利用して変換（オイラーの公式を利用してもよい）
=1+i, -1+i, 1-i, -1-i
Ans.±1±i　(ただし±の復号はすべての組合せをとる)

>8iの3乗根をすべて求めよ。
8i=(2^3)e^(iπ/2)=(2^3)e^(iπ/2+i2nπ),nは任意整数
8iの3乗根：(8i)^(1/3)=2e^(iπ/6+i2nπ/3),(n=0,-1,1)
　　　　　　　　　　 =2e^(iπ/6), 2e^(-iπ/2), 2e^(i5π/6)
前半と同様に単位円を使って変換すると
　=(√3)+i, -2i, -(√3)+i

回答No.1

Tacosan

どこが分からないのでしょうか?