複素平面上の写像について

質問

わからないのでよろしくお願いいたします．

複素平面(z平面)上の領域 z:0<Rez<π，Imz>0 が
写像f(z)によって複素平面上のどのような領域に写されるか．

f(z)=cos z

回答No.2

Tacosan

「具体的」というのがどこまでを指すのかわかりませんが, それ (虚部<0 の半平面) でいいはずです. 図示しても「実軸より下全部」としか描きようがない.

w = u+iv, z = x+iy (u, v, x, y は実数) として, w = cos z を考えてみます. この関数の値域は複素数全体ですが, cos が周期 2π の周期関数であり, しかも偶関数であることから 0 ≦ x ≦ π に制限しても値域は複素数全体のままです. そしてこのとき v = -(sin x)(sinh y) のうち sin x は 0以上で, さらに y ≧ 0 とすると sinh y も 0以上ですから「v 全体では 0以下」となります. 一方 w の実部 u = (cos x)(cosh y) を考えると cos x は -1以上 1以下, cosh y は 1以上なので任意の実数をとることができます.

つまり, 与えられた領域に境界を追加した
0 ≦ Re z ≦ π, Im z ≧ 0
という条件の下では, w の範囲は「虚部≦0 の半平面」です. あとは「境界上の z に対し w = cos z はどうなるのか」「『境界上の z に対する w』は領域内部の点でカバーできるかどうか」を考えればよく, 最終的には上に書いたように「虚部<0 の半平面全体」となります.

回答No.1

Tacosan

どこがどうわからない?

ふつう, わかってたら質問しないよね.

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q7390788.html

補足

w=cosz
=(e^(iz)+e^(-iz))/2

z=x+yi ,w=u+viとすると

u=1/2・cosx(e^(-y)+e^(y))
v=-1/2・sinx(e^(y)-e^(-y))

0<x<π, 0<y<∞　より

-∞<u<∞
v<0 (∵　sinx>0 (0<x<π), (e^(y)-e^(-y))=e^(-y)(e^(2y)-1)>0)

w平面上で

uは-∞から∞
vは負

の領域になると考えたのですが，
具体的にw平面上で，どういった外形になるのかがわからないです．

失礼いたしました．
よろしくお願いいたします．