複素平面のもんだい

質問

α＝－2√2＋2√2ｉのとき
3乗してαになる3つの複素数を複素平面上に図示するという問題を解くには
まず3つの複素数を計算するんでしょうか？
どうといたらよいのか全く分かりません。
誰かやり方わかるひといますか？

回答No.1

Meowth · ベストアンサー

α＝－2√2＋2√2ｉ
を極表現にすると
α＝4(-1/√2＋1/√2ｉ)
=4e^i(3/4π）
一般角にして
=4e^i(3/4π+２nπ）
3乗してαになるのは絶対値は４の3乗根r=４＾（１/3)
偏角は１/3になる
=4e^i(3/4π+２nπ/3）

nを３の剰余でわけて
4e^i(1/4π+2kπ/3）
4e^i(1/4π+2(3k+1)π/3）
4e^i(1/4π+2(3k+2)π/3）
[あとの２つは最初の値を120度づつ回転したもの]
あらためてｎとおいて
re^i(1/4π+2nπ）　[=re^i(3/12π+2nπ）]=4^(1/3)(1/√2+1/√2i)
re^i(1/4π+2π/3+2nπ）=re^i(11/12π+2nπ）=4^(1/3)(cos165+sin165i)
re^i(1/4π+4π/3+2nπ）=re^i(19/12π+2nπ）=4^(1/3)(cos285+sin285i)
または、
4^(1/3)(1/√2+1/√2i)
4^(1/3)(-cos15+sin15i)
4^(1/3)(sin15-cos15i)

回答No.4

info22

α＝-2√2＋2√2ｉ=|α|e^(iφ)とおくと
|α|=√{2*(2√2)^2}=4
cosφ=-2√2/4=-1/√2, cosφ=2√2/4=1/√2　から
φ=(3/4)π

＞3乗してαになる3つの複素数を複素平面上に図示する
つまり、αの３つの3乗根を求める
ことだから
（１つ目の複素数）r=(|α|)^(1/3)=4^(1/3) ← 4の「3乗根」です。
　とおくと図的には、rの大きさで偏角（時計回りの角）が
　π/4(ラジアン)=45°の位置の複素座標の位置（位置ベクトルの終点）
　に点を取れば良いですね。
　複素数値（ベクトル表記）としては
　r(cos(φ/3),sin(φ/3))=(r cos(φ/3), r sin(φ/3) )
=(4^(1/3)cos(π/4),4^(1/3)sin(π/4))
　　　　　=(2^(1/6),2^(1/6))={2^(1/6)}(1 + i)
　となります。

（２つめの複素数）
　（1つ目の複素数）の点を図的に、
　　原点を中心に(2π/3)ラジアン(=120°)だけ「反時計回り」に回転した　　点
　　が2つ目の複素数になりますのでこれを図示します。
　　座標値（複素数値）としては
　　r(cos((φ/3)+(2π/3)),sin((φ/3)+(2π/3)))
={4^(1/3)}(cos(11π/12),sin(11π/12))
　　={-(√6+√2)+i(√6-√2)}/{16^(1/3)}
となります。

（３つ目の複素数)
　（1つ目の複素数）の点を図的に、
　　原点を中心に(2π/3)ラジアン(=120°)だけ「時計回り」に回転した点
　　が2つ目の複素数になりますのでこれを図示します。
　　座標値（複素数値）としては
　　r(cos((φ/3)-(2π/3)),sin((φ/3)-(2π/3)))
={4^(1/3)}(cos(-5π/12),sin(-5π/12))
　　={(√6-√2)-i(√6+√2)}/{16^(1/3)}
となります。

お礼

詳しい説明ありがとうございました。
ちょっと今頭が混乱してますが、
参考にさせていただきます。

回答No.3

nettiw

i が脱落していました。

α=4[(-1/√2)+i・(1/√2)]　

　　=4[cos(3π/4)　+ i・sin(3π/4)],
　　　4[cos(11π/4)+ i・sin(11π/4)],
　　　4[cos(19π/4)+ i・sin(19π/4)]

z1=[4^(1/3)][cos(π/4)+ i・sin(π/4)]
z2=[4^(1/3)][cos(11π/12)+ i・sin(11π/12)]
z3=[4^(1/3)][cos(19π/12)+ i・sin(19π/12)]

　　　と訂正します。

お礼

わざわざ訂正ありがとうございます！！！！！

回答No.2

nettiw

｜α｜= 4 で、主値は３個あるので、

α=4[(-1/√2)+(1/√2)]　と変形して、

　　=4[cos(3π/4)+sin(3π/4)],
　　　4[cos(11π/4)+sin(11π/4)],
　　　4[cos(19π/4)+sin(19π/4)]と並べておいて、
--------------
z^3=α
　　z=α^(1/3)

　　z1=[4^(1/3)][cos(π/4)+sin(π/4)],
　　z2=[4^(1/3)][cos(11π/12)+sin(11π/12)]
　　z3=[4^(1/3)][cos(19π/12)+sin(19π/12)]

　　　π/4=45度,
11π/12=165度=45度+120度=180度-15度,
19π/12=285度=45度+240度=270度+15度　だから、

　あとは、複素平面上に図示して下さい。