複素平面

質問

Ｚ＝１/２+ ｔi （i;虚数単位）とする。
ｔが任意の実数値をとるとき、Ｗ＝１/Ｚを満たす点Ｑ(ｗ)は、複素平面上でどのように動きますか？
て言う問題なんですけど、私はＱに何か条件がないといけないと思ったんですが。
教えてください。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

> Ｑに何か条件がないといけない...

複素数 w を複素平面上で表現したときの点が Q(w) いうことでしょ？
例えば，t = 1 なら
z = (1/2) + i，　　w = 1/{(1/2) + i} = (2 - 4i)/5
ですから，これに対応する複素平面上の点がＱ．
同じようにして t をいろいろ変えたとき，Ｑはどういう軌跡を描くか，
そういうことでしょう．

(1)　　z = a + ti
として
(2)　　w = 1/(a + ti) = a/(a^2 + t^2) - it/(a^2 + t^2)
だから，w = x + yi と書けば
(3)　　x = a/(a^2 + t^2)，
(4)　　y = - t/(a^2 + t^2)
です．
あとは，(3)(4)からパラメーター t を消去すれば点Ｑの軌跡の方程式になります．
あとはお任せします．
答は円ですが，変域にもご注意下さい．

補足

＞変域にもご注意下さい
変域って、ｘは０が定義されないってことですか。

回答No.3

siegmund

> 変域って、ｘは０が定義されないってことですか。

おっしゃるとおりです．

ついでに，付録です．
w=1/z という関数によって w 平面上の点は z 平面上の点にマップされますが，
上のように w=0 だけは例外です．
w=0 の近傍は z 平面で原点から十分離れたところに対応するのですが，
w=0 に対応する点は z 平面上にありません．
で，例外をなくすために，複素平面に無限遠点という点をひとつ新たに作って，
w=0 は z 平面の無限遠点にマップされる(逆に，z=0 は w 平面の無限遠点に)
ものと約束しています．
こうすると，w 平面上の点とと z 平面との点とは例外なく１対１に対応します．
無限遠点の記号は∞を用いますが，極限操作の∞とは意味が違います．

お礼

ほんま、遅くなってごめんなさい。３月中はスノボー＆バイトで山にこもっていました。行く前にお礼を言うべきでしたが、なにぶん急ぎだったので、すいません。今は、顔が真っ黒でみんなにつっこまれます（笑）

回答No.1

nikorin

Ｗ＝１/ＺはＷを定義してるだけですよね？
「満たす」というのがどういう意味かわかりません。
Ｑ（ｗ）はどう定義されているのでしょう？
ｗがどう動くか、ではないのですか？

補足

すいません。私も同じ疑問があったんです。ｗがどう動くかだと思うんですが・・・・・