各加速度算出方法の確認

質問

お世話になります。
機械の強度計算のため角加速度を算出する必要が出ましたが、計算方法に自信が無いためここに質問させて頂きました。
以下の計算で正しいかどうか、間違いの指摘やアドバイスなどを頂ければと思います。

添付画像に本機械の機構を模式的に示します。
点Oを中心に半径r[mm]で点P1が回転数A[rpm]で定速回転しています。
y1=y2,r<Rとなるような機構となっており、点P1に連動して点P2が点Oを中心に半径R[mm]で揺動運動を行います。
このとき点P2の最大角加速度a(rad/s2)を求めたいのです。

まず、
y1=rsin(ωt)
が成り立つと思います。
このとき
ω=A/60*2*π=πA/30 [rad/s]
になります。

tについて微分すると
y1'=rωcos(ωt) [mm/s]
y1"=-rω^2sin(ωt) [mm/s^2]

y1=y2なので
y2"=-rω^2sin(ωt) [mm/s^2]

sin(ωt)が1(もしくは-1)のときy2及びy2"が最大になるので
y2(max)=r
y2"(max)=rω^2

y2"はY方向の加速度で必要なのは接線方向の加速度なので
y2"が最大になる角度θ[rad]は
θ=arcsin(y2/R)=arcsin(r/R) [rad]

円周方向の加速度=y2"(max)/cosθ [mm/s^2]

角加速度に直して
a=y2"(max)/cosθ/R [rad/s^2]

代入して
a=y2"(max)/cosθ/R
=rω^2/cos(arcsin(r/R))/R
=r(πA/30)^2/cos(arcsin(r/R))/R [rad/s^2]

以上になります。
宜しくお願い致します。

回答No.4

nobuyuki0505 · ベストアンサー

No.1です。何度も失礼します。

質問者様の解き方は、厳密な意味でも正しいと思います。

お礼

丁寧で詳細な回答をありがとうございます。
θの微分でも答えが出たのですね。
勉強になりました。
今後似たような計算が必要になりましたら参考にさせて頂きます。
ありがとうございました。

回答No.3

nobuyuki0505

No.1です。No.2で計算過程を書きました。ここでは、答えを再度書きます。

a = rω^2 / √(R^2-r^2)

です。

しかし、いま、答えをじっくり見ると、質問者様の回答と同じ結果になっていますね。

>代入して
>a=y2"(max)/cosθ/R
> =rω^2/cos(arcsin(r/R))/R

ここで、cos(arcsin(r/R))=√(R^2-r^2)/R

であるので、これを代入しても、同じ結果

a = rω^2 / √(R^2-r^2)

を得ますね。

いま、見返せば、質問者様の解き方もあっているように感じます。

厳密な意味で、合っているかどうかは、ちょっとすぐにはわからないですね。

少なくとも、答えは合っています。

回答No.2

nobuyuki0505

No.1です。

正解となる計算過程を記述します。

まず、y1=y2であるので、これを

y=y(t)=y1=rsinωt(=y2)

とおく。y', y''などはtについての微分とする。

次に角度θは、

θ=θ(t)=arcsin(y/R)

と表せる。

簡単のため、

Y=Y(t)=y/R

とおく。（θ=arcsin Y)

これを微分すると、（公式【(arcsin x)'=1/√(1-x^2)】を用いる）

θ'=Y' / √(1-Y^2)

これをさらに微分すると、(積の微分を用います）

θ''=Y'' / √(1-Y^2) + Y' × (-1/2) (-2YY') / √(1-Y^2)^3

これを整理するのだが、関係式

Y''=-ω^2 Y

(Y')^2 = r^2ω^2/R^2 - ω^2Y^2

を用いて、Yのみの式でθ''を表すと、

θ''=-ω^2Y / √(1-Y^2) + Y (r^2ω^2/R^2 - ω^2Y^2) / √(1-Y^2)^3

であり、これらをω^2Y√(1-Y^2)^3でくくると、

θ''=ω^2Y/√(1-Y^2)^3 ｛ -(1-Y^2) + (r^2/R^2 - Y^2)｝

である。中括弧の中を整理すれば、Y^2の項が消え、r^2/R^2 - 1 となるので、まとめると、

θ'' = ω^2(r^2/R^2 - 1) Y / √(1-Y^2)^3　　・・・(☆)

を得る。

すなわち、θ''が最大となるのは、 Y/√(1-Y^2)^3が最大となるときだが、

これは、Yが大きくなればなるほど、1/√(1-Y^2)^3も大きくなり、

また、Yも大きくなるので、その積Y/√(1-Y^2)^3も大きくなる。

つまり、Yが最大であるときに、Y/√(1-Y^2)^3も最大となり、

ゆえにθ''も最大となる。

これがNo.1の回答の(1)の証明である。

よって、Yの最大値はr/Rであるので、Y=r/Rであるときを考えればよい。
これを(☆)に代入して、

θ''=ω^2(r^2/R^2 - 1) r/R / √(1-r^2/R^2)^3

=-rω^2(R^2-r^2)/ √(R^2 - r^2 )^3
=-rω^2 / √(R^2 - r^2)

よって、a=rω^2 / √(R^2 - r^2).

回答No.1

nobuyuki0505

まず、結論から言うと、上の値は間違っています。

着眼点は次の２点です。

(1) 本当にy2''が最大のときに、角加速度θ''も最大となるのか？

(2)上の式で、
>角加速度に直して
>a=y2"(max)/cosθ/R [rad/s^2]
と書かれており、これはおそらく(弧の長さ)=(半径)×(角度rad)を用いていると思われるが、
これは本当に正しいのか？

の２点です。

後ほど証明しますが、まず、(1)は正しいです。
y2''が最大となったときに、角速度も最大となります。

(2)は正しくありません。
角加速度を求める場合は、角度θ=θ(t)=arcsin(y2/R)をtについて
2回微分したθ''が角加速度となります。

θ'が角速度、θ''が角加速度です。

以上が、質問者様の答えが間違っている理由です。

全てをここに書くと量が多くなるので、
次の回答で、計算過程を、その次の回答で、答えを書くことにします。